Idea detrás de la factorización de la matriz $\operatorname{diag}(a,a^{-1})$ en la teoría K algebraica

Question

Si $a \in S$ es algún elemento invertible en un anillo $S$ , entonces un cálculo muestra

$$\pmatrix{a & 0 \\ 0 & a^{-1}} = \pmatrix{1 & a \\ 0 & 1} \pmatrix{1 & 0 \\ -a^{-1} & 1} \pmatrix{1 & a \\ 0 & 1} \pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}.$$

Si $R \to S$ es un homomorfismo suryente, vemos que este matriz invertible sobre $S$ puede elevarse a alguna matriz invertible sobre $R$ . Esta observación es importante en la Teoría K algebraica; por ejemplo, se utiliza en la exactitud de la $K_0$ -(véase el libro de Rosenberg, 1.5.4 - 1.5.5).

Preguntas. ¿Qué es la idea detrás de esta factorización? Por supuesto que no hay problema en verificar esta identidad, pero ¿cómo se puede llegar a una factorización tan no trivial? ¿Tiene una interpretación geométrica? ¿Quién fue el primero en encontrar y utilizar esta identidad?

PD: ¿No es triste que sólo unos pocos libros de texto y documentos ofrezcan explicaciones de las ideas importantes, en lugar de sólo verificaciones de pruebas ?

Answer 1

No tengo respuesta sobre la historia o la interpretación geométrica, pero así es como I se le ocurriría una identidad similar de forma más o menos algorítmica. El objetivo es expresar

$$\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&a^{-1}\end{array}\right)$$

como producto de matrices elementales. Para ello basta con "reducirla a $I$ operaciones elementales de filas y columnas". Puedo hacerlo de la siguiente manera:

1. Añadir $a$ veces la columna 2 a la columna 1, obteniendo $$\left(\begin{array}{cc}a&0\\1&a^{-1}\end{array}\right).$$

2. Añadir $1-a^{-1}$ veces la columna 1 a la columna 2, obteniendo $$\left(\begin{array}{cc}a&a-1\\1&1\end{array}\right).$$

3. Resta la columna 2 de la columna 1, obteniendo $$\left(\begin{array}{cc}1&a-1\\0&1\end{array}\right).$$

4. Resta $a-1$ multiplicando la columna 1 por la 2, obteniendo $I$ .

Trabajando hacia atrás, encuentro la factorización $$\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&a^{-1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&a-1\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&a^{-1}-1\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\-a&1\end{array}\right).$$

A menos que haya malinterpretado completamente la motivación, creo que esta factorización es igual de útil.