Una pregunta sobre una integración compleja en el libro de texto de QFT de Peskin

Question

En la página 27 (2.52), la integración es $$\int_{-\infty}^{\infty}dp \frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}$$ Dice que hay dos cortes de rama a partir de $\pm im$

Pero aprendí en el análisis complejo que $\sqrt{z^2+m^2}$ sólo tiene una rama cortada de $-im$ a $im$ porque el punto es dar la vuelta $im$ o $-im$ sólo obtendrá un punto negativo, pero el punto que va alrededor $\infty$ sólo mantendrá el signo. Por lo tanto, $\infty$ no es el punto de ramificación y el corte de la rama es de $-im$ a $im$ . Entonces, ¿quién se equivoca?

Answer 1

Dado $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \>,$

y el hecho de que un chi-cuadrado( $\nu$ ) es una Gamma( $\frac{\nu}{2},2$ ), (bajo la parametrización de la escala) entonces

$S^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\cdot \frac{\sigma^2}{(n-1)}\sim \text{Gamma}(\frac{(n-1)}{2},\frac{2\sigma^2}{(n-1)})$

Si necesitas una prueba, debería bastar con mostrar que la relación entre las variables aleatorias chi-cuadrado y gamma se mantiene y luego seguir el argumento de la escala aquí. Esta relación es bastante verificable por inspección.