Hay un "canónica" de la representación de números enteros mediante números de los números primos?

Question

Consideremos la engorroso) declaración: "Todo número entero mayor que 1 se puede escribir como un producto de números enteros que pertenecen a un cierto subconjunto, $S$ de los números enteros.

Al $S$ es el conjunto de los números primos, este es el Teorema Fundamental de la Aritmética. Mi pregunta es esta: ¿hay otros tipos de números, por que esto es cierto.

EDIT: Como las respuestas muestran, obviamente, esto no puede ser hecho. Lo que si nos relajamos el entero condición, es decir, puede ser cualquier otra representación canónica de los números enteros positivos mediante números complejos?

Answer 1

No. Un conjunto de $S$ debe incluir los números primos (porque no tienen otros factores). Si $s \in S$ no es primo, entonces se puede escribir como un producto de números primos, es decir, como un producto de otros elementos de $S$. Esto contradice la singularidad. Por lo tanto, el único conjunto de $S$ es el conjunto de los números primos.

Answer 2

Si te refieres a que cada entero positivo se presenta un único multiplicativo de la factorización, entonces no, no hay ninguna otra representación canónica. Por qué? Porque entonces cada número primo $p$ pueden ser factorizados, pero la única manera que es posible es si los componentes de la factorizations incluyen los números primos a sí mismos. Además, no se puede agregar cualquier otro número a la lista, porque entonces la factorización de este número, no sería único.

Alternativamente, las hay que no multiplicativo de las representaciones de los números enteros. El $p$-ádico representación, es simplemente escribir $n$ en la "base de $p$": $n=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_rp^r$. Aunque la proporción áurea no es un número racional, podemos escribir números enteros en base de la proporción áurea.

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La teoría algebraica de números estudios en los campos de número y anillos de enteros más allá de $\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$. De la nota, no es necesariamente única factorización de los elementos. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, tenemos

$$6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$$

Esta provocar algunos dolores de cabeza (supongo que de todos modos), hasta que los matemáticos di cuenta de que aunque los números no factor de forma exclusiva, los ideales de los enteros factor de forma exclusiva en productos de primer ideales, lo que ha llevado a otras construcciones algebraicas con sede fuera de ellos diseñados en última instancia, para el estudio de la estructura de los números. (Si usted no entiende esta sección de mi respuesta, no te preocupes. Es para un momento posterior, a continuación,.)

Answer 3

Cuando se relaja la condición de integralidad de empezar a recoger otras soluciones - por ejemplo, el conjunto de las raíces cuadradas de los números primos, $S=\{\sqrt{p}:p\in P\}$, es tal que cada número $n$ tiene una única factorización $n=s_1^{e_1}s_2^{e_2}\ldots$ en términos de los elementos de $S$; considerar el desglose $n=p_1^{d_1}p_2^{d_2}\ldots$ y, a continuación, establezca $e_1=2d_1$, etc. Por otro lado, esto se da por vencido existencia : ya no es el caso que cada secuencia $e_1, e_2, \ldots$ de la totalidad de los números corresponde a un número entero único; en su lugar tenemos el requisito adicional de que todos los $e_i$ ser incluso.

Más en general, cualquier avería de los números primos en productos de (no integral) factores reales que le dará una solución: si $p_1 = t_{11}\cdot t_{12} \cdot \ldots\cdot t_{1m}$, $p_2 = t_{21}\cdot t_{22}\cdot\ldots\cdot t_{2n}$, y así sucesivamente, entonces, obviamente, cualquier factorización de un número $n$ en productos de $p_i$ se extiende a un (único) de la factorización de $n$ en productos de la $t_{ij}$. Lo que es más, una única factorización de todos los números reales 'factores' $x_i$ tiene que venir de este tipo de avería, porque, obviamente, los números primos todos necesitamos único factorizations, y la factorización de un número $n$ a de los números primos, a continuación, 'se extiende a través de' la factorización de los números primos en la factorización de $n$ en términos de la $x_i$, que, por definición, debe ser el de la factorización de $n$. Así que usted no consigue nada particularmente interesante por la eliminación de la no-integralidad condición, sólo "refinamientos" de la factorizations que ya tenía.