¿Son duales la inyectividad y la subjetividad?

Question

¿Son la inyectividad y la subjetividad duales en algún sentido? Sus definiciones en teoría de conjuntos son bastante diferentes. En concreto, la inyectabilidad es una propiedad del grafo de una función, mientras que la subjetividad es una relación entre el rango de la función y su codominio.

Answer 1

Dejemos que $K$ sea un campo, y que $V$ y $W$ sea $K$ -y dejemos que $f: V \rightarrow W$ ser un $K$ -mapa lineal. Sea $V^{\vee} = \operatorname{Hom}(V,K)$ y $W^{\vee} = \operatorname{Hom}(W,K)$ sean los espacios duales. Entonces $f$ induce un mapa

$f^{\vee}: W^{\vee} \rightarrow V^{\vee}$ , por $\ell \in \operatorname{Hom}(W,K) \mapsto (v \in V \mapsto \ell(f(v)))$ .

1) $f$ es proyectiva si $f^{\vee}$ es inyectiva.

Supongamos que $f$ es suryente y que existe $\ell \in W^{\vee}$ con $f^{\vee}(\ell) = 0$ . Es decir, para todos los $v \in V$ , $\ell(f(v)) = 0$ . Desde $f$ es sobreyectiva esto significa que $\ell(w) = 0$ para todos $w \in W$ y por lo tanto $\ell = 0$ .

Supongamos que $f$ no es suryente, y dejemos que $w \in W \setminus f(V)$ . Entonces existe una función lineal $\ell$ en $W$ que desaparece idénticamente en $f(V)$ pero no en $w$ . Así, $\ell$ no es $0$ pero $f^{\vee}(\ell)$ es, así que $f^{\vee}$ no es inyectiva.

2) $f$ es inyectiva si $f^{\vee}$ es suryente.

Supongamos que $f$ es inyectiva. Entonces podemos ver $V$ como un subespacio de $W$ y el mapa $f^{\vee}$ es simplemente la restricción de los funcionales lineales a un subespacio. Esto es claramente sobreyectivo, ya que cualquier mapa lineal en un subespacio puede extenderse a un mapa lineal en el espacio ambiente.

Supongamos que $f$ no es inyectiva: dejemos que $0 \neq v \in V$ sea tal que $f(v) = 0$ . Entonces, ningún funcional lineal sobre $V$ con $L(v) \neq 0$ se encuentra en la imagen de $f^{\vee}$ Así que $f^{\vee}$ no es sobreyectiva.

Answer 2

Sí, en cierto sentido.

Proyecciones y inyecciones son "duales categóricos" (en $\mathbf{Set}$ ). La forma más sencilla de ver una manifestación en la dualidad es la siguiente: dejemos que $X,Y,Z$ sean conjuntos. Si $f:X\to Y$ es suryente, entonces para cualquier $g_1,g_2:Y\to Z$ , $$g_1\circ f = g_2 \circ f \iff g_1 = g_2$$ Mientras que si $h: Y\to X$ es inyectiva, entonces para cualquier $d_1,d_2: Z\to Y$ $$ h\circ d_1 = h\circ d_2 \iff d_1 = d_2 $$ La dualidad es más clara si se dibuja el diagrama $$ X \overset{f}{\underset{h}{\rightleftarrows}} Y \overset{g_*}{\underset{d_*}{\rightleftarrows}} Z$$

Answer 3

Hay un sentido importante en el que no son estrictamente duales.

Sea X un conjunto no vacío.

Entonces f: X --> Y es inyectiva si y sólo si tiene una inversa izquierda. La prueba no requiere el axioma de elección.

Pero no es cierto que f:X --->Y sea sobreyectiva si y sólo si tiene una inversa correcta, a menos que invoques el Axioma de Elección. De hecho, esto es lógicamente equivalente al Axioma de Elección.