Potencial del vector para el campo magnético cuando el campo no está en una región simplemente conectada

Question

Según el Lema de Poincaré, si $U\subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto estrellado y si $\omega$ es una forma $k$-dimensional definida en $U$ que es cerrada, entonces $\omega$ es exacta, lo que significa que hay alguna forma $(k-1)$-dimensional, digamos $\eta$ con $\omega = d\eta$. Ahora, traduciendo a campos vectoriales, si consideramos $U$ un conjunto estrellado en $\mathbb{R}^3$ y si $B$ es un campo vectorial dentro de $U$ tal que $\nabla\cdot B = 0$, entonces hay algún campo vectorial $A$ definido en $U$ tal que $B = \nabla \times A.

He escuchado que el Lema de Poincaré resulta ser cierto incluso si $U$ no es estrellado, sino simplemente contractible. Ahora, en la hipótesis del Lema de Poincaré, el hecho de que el campo magnético satisfaga $\nabla\cdot B = 0$ implica la existencia del potencial vectorial $A$, con $B = \nabla \times A. Pero, ¿qué pasa si el campo magnético está definido en alguna región del espacio que no es simplemente conexa? En ese caso, el potencial vectorial podría no existir según el Lema de Poincaré (no dice que no exista, pero no garantiza su existencia).

Entonces, ¿qué sucede si la región donde se define el campo tiene agujeros? ¿Realmente hay una posibilidad de que el potencial vectorial no exista? En ese caso, ¿cuáles son las consecuencias físicas de eso? Dado que siempre me dijeron que el potencial vectorial era solo una herramienta matemática introducida para facilitar la vida, creo que no habría un gran impacto en el punto de vista de la explicación conceptual de la situación, sin embargo, no estoy seguro.

Answer 1

Tú preguntas

si la región donde el campo está definido tiene agujeros, ¿qué sucede?

Bueno, en ese caso puedes definir el potencial vector en subregiones simplemente conectadas $R_i$ cuya intersección es toda la región no simplemente conectada $R$ y tales que difieren solo por una transformación de calibre en las regiones superpuestas. Esto es algo motivado físicamente, porque significa que, hasta la transformación de calibre, el potencial vectorial puede definirse en $R.

Aquí hay un ejemplo simple. Sea $\ell=\{(x,y,z)\,|\, x=0, y=0\}$ denote el eje $z$, entonces la región $R=\mathbb R^2\setminus\ell$ no es simplemente conectada. Para ver esto, simplemente considera un lazo cerrado que rodea el eje; no hay forma de encogerlo continuamente hasta un punto permaneciendo en $R$. Debido a esto, no hay un $\mathbf A$ definido en todo $R$. Sin embargo, sea $\ell_+$ el eje $z$ positivo, y sea $\ell_-$ el eje $z$ negativo, entonces las regiones $R_- = \mathbb R^3\setminus \ell_+$ y $R_+ = \mathbb R^3\setminus \ell_-$ tienen la propiedad de que cada una es simplemente conectada y $R = R_+\cap R_-$. Además, podemos definir un potencial vectorial $\mathbf A_+$ en $R_+$ y $\mathbf A_-$ en $R_-$ de modo que exista una función escalar $\Lambda$ para la cual \begin{align} \mathbf A_+(\mathbf x) - \mathbf A_-(\mathbf x) = \nabla\Lambda(\mathbf x), \qquad \text{para todo $\mathbf x\in R$} \end{align} De hecho, aquí están las expresiones explícitas en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$: \begin{align} \mathbf A_{\pm} &= -g\frac{\cos\theta\mp 1}{r\sin\theta}\hat{\boldsymbol \phi} \end{align> Te dejo a ti determinar $\Lambda$; es un ejercicio divertido.

¿cuáles son las consecuencias físicas de eso?

Bueno, en el contexto de la mecánica cuántica, este tipo de problemas topológicos son relevantes físicamente (no estoy seguro si hay ejemplos en los que sean relevantes a nivel clásico, pero no creo que lo sean). No entraré en detalles aquí (a menos que haya demanda), pero los mismos potenciales vectoriales que mencioné en el ejemplo anterior surgen al discutir los monopolos magnéticos y la cuantización de la carga eléctrica (ver cuantización de Dirac).

Estos problemas topológicos también son significativos al discutir el famoso efecto Aharonov-Bohm.

Answer 2

El campo inverso de cuadrado $-{\bf x}/r^3$ tiene divergencia 0 en el $R^3$ simplemente-conectado menos el origen, pero no tiene un potencial vectorial en esa región. Si lo tuviera, entonces su integral sobre una esfera centrada en el origen sería 0 por el teorema de Stokes, lo cual no es el caso. Así que "simplemente-conectado" no es exactamente lo correcto. Quieres que el dominio sea 2-conectado. Eso es suficiente.

Curiosamente, sí tiene un potencial vectorial en una región que ni siquiera es simplemente conectada: $(-yz,xz,0)/((x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ funciona fuera del eje $z$.