Para empezar, podemos considerar muchos espacios-tiempo posibles, y resulta que observar ciertas variedades algebraicas (o, más generalmente, variedades simplécticas) es muy fructífero. Hay muchas razones para ello, pero mencionaré sólo una: resulta que el número de curvas algebraicas en estas variedades es algo que aparece en la física.
Aquí hay un intento de explicar una parte de esto (advertencia: Sólo entiendo la parte matemática, así que lo que digo sobre la física puede estar completamente equivocado. Si es así, que alguien que sepa de física me corrija, por favor. Además, tened en cuenta que no sé cómo explicar esto de una manera que no sea al menos un poco torpe, aunque intentaré no decir nada falso).
En la mecánica clásica, existe la formulación lagrangiana. Ésta dice que la trayectoria de un objeto debe minimizar (al menos localmente) una cantidad llamada "acción" de la trayectoria. El cálculo de variaciones nos permite demostrar que esto es equivalente a las leyes de Newton.
Ahora bien, cuando se pasa a la mecánica cuántica (y en particular a la teoría cuántica de campos, que es donde esto es realmente útil), existe la formulación de la integral de trayectoria de Feynman: Una partícula puede ser tratada como si tomara todos los caminos que pudiera tomar. Sin embargo, la mayoría de estas trayectorias se "cancelan", y las únicas que acabamos viendo son las que son puntos críticos de la acción. Lo que esto significa es que podemos evaluar ciertas cosas en la teoría cuántica de campos integrando sobre todos los caminos, ya que la mayoría de los caminos se cancelarán. (Esta "anulación" es algo que puede ocurrir en la mecánica cuántica; para dar un análogo, piense en la interferencia de ondas).
Ahora bien, si empezamos a trabajar con cuerdas, cuando una cuerda se mueve, obtenemos una superficie 2d en lugar de un camino, llamada la hoja del mundo de una cuerda. Al igual que con la integral de trayectoria, ahora obtenemos integrales sobre estas superficies 2d. Ahora resulta que las superficies que no se cancelan deben ser curvas pseudoholomorfas, y cuando nuestro espaciotiempo es una variedad algebraica, esta curva pseudoholomorfa corresponde a una curva algebraica.
Así que los recuentos de curvas algebraicas en variedades complejas son algo que aparece en la teoría de cuerdas.
Ahora, por supuesto, no existe una formulación rigurosa de la integración en dimensiones infinitas en las matemáticas. Por lo tanto, muchos de los resultados que se pueden obtener a través de la integral de trayectoria de Feynman no se pueden obtener a través de las técnicas tradicionales, por lo que los matemáticos están interesados en esta relación.
