$f(x+y) + f( f(x) + f(y) ) = f( f( x+f(y) ) + f( y+f(x) ) )$

Question

Supongamos $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es estrictamente una disminución de la función que satisface la relación $$f(x+y) + f( f(x) + f(y) ) = f( f( x+f(y) ) + f( y+f(x) ) ) , \quad \forall x , y \in\mathbb R $$

Para encontrar una relación entre el$f( f(x))$$x$.

Answer 1

Creo que tengo algo , poniendo y=x en el funcional de la ecuación obtenemos $$ f(2x) + f(2f(x)) = f(2f(x+f(x))) $$ El cambio de $x$ $f(x)$también conseguimos $$ f(2f(x)) + f(2f(f(x))) = f(2f(f(x)+f(f(x)))) $$ Restando el ex de la ecuación obtenemos $$ f(2f(f(x))) - f(2x) = f(2f(f(x)+f(f(x)))) - f(2f(x+f(x))) $$ Ahora desde $f(x)$ es estrictamente decreciente $x>y$ si y sólo si $f(x) < f(y)$ . Suponga que $f(f(x)) > x$ , para algunas de las $x$, luego $$ \begin{align} 2f(f(x)) > 2x&\Longleftrightarrow f(2f(f(x))) < f(2x)\\ &\Longleftrightarrow f(2f(f(x)+f(f(x))))< f(2f(x+f(x)))\\ &\Longleftrightarrow 2f(f(x)+f(f(x))) > 2f(x+f(x))\\ &\Longleftrightarrow f(f(x)+f(f(x))) > f(x+f(x))\\ &\Longleftrightarrow f(x)+f(f(x)) < x+f(x)\\ &\Longleftrightarrow f(f(x)) < x \end{align} $$ contradicción! Por eso , $f(f(x)) = x$ , para todos los verdaderos $x$.