Topológicamente distintas birracionales de Calabi-Yau

Question

En las dimensiones 1 y 2 sólo hay uno, respectivamente, 2, compacto Kaehler colectores con el cero de la primera clase de Chern, hasta diffeomorphism. Sin embargo, es un problema de si es o no el número de topológico de este tipo de colectores de la dimensión 3 (Calabi-Yau threefolds) es acotada. Me gustaría preguntar lo que se conoce en esta dirección. En particular, se sabe que la característica de Euler o el total de Betti número de Calabi-Yau threefolds no puede ser arbitrariamente grande? ¿Hay algún matemático (o física?) razones para esperar que la respuesta?

Como un lado de la cuestión: yo recuerdo haber escuchado varias veces algo como "Calabi-Yau de 3 pliegues parametrizar (algún tipo de) vacua en la teoría de las cuerdas", pero nunca fue capaz de hacer sentido preciso de esta. Por lo que cualquier comentario sobre este punto o referencias accesibles para los matemáticos serían muy bienvenidos.

Answer 1

El más pequeño conocido característica de Euler de un Calabi-Yau triple es -960. El triple es una hipersuperficie en la ponderación de la proyectiva del espacio P_(1,1,12,28,42).

Hay algunas ideas de tipo IIA-heterotic la dualidad lo que sugiere que este es extremal, pero no es ni siquiera una prueba física.

Tenga en cuenta que 42 se presenta como la más grande posible denominador en la escritura 1 como la suma de fracciones Egipcias 1 = 1/2+1/3+1/7+1/42.

(1) A. Degeratu, K. Wendland: Amable gigante cumple pointlike instantons? En una nueva conjetura por John McKay http://www.opus-bayern.de/uni-augsburg/volltexte/2007/700/pdf/mpreprint_07_037.pdf

(2) Kachru y Vafa, hep-th/9505105

De 4 pliegues ver: (3) http://arxiv.org/abs/hep-th/9701023v2

Answer 2

Voy a dar una áspera cuenta de la interpretación física de Calabi-Yau colectores en la teoría de cuerdas.

Estamos estudiando las partículas se mueven alrededor en el espacio-tiempo de 10 dimensiones. Queremos recoger estos 10 dimensiones, de modo que el espacio-tiempo se ve realista, así que elegimos a nuestros Lorenz 10-colector será de $R^{1,3}\times X$ donde $X$ es un compacto de 6-colector. Si decidimos de $X$ a ser lo suficientemente pequeño, entonces a bajas energías de $X$ en sí, no es directamente observable. Por lo tanto para un observador que estudia el mundo con la energía baja de las sondas de espacio-tiempo tiene la familiar de 4 dimensiones.

Sin embargo, uno no puede elegir de $X$ en forma totalmente arbitraria. La teoría de Einstein de la relatividad general nos dice que la métrica de $X$ transporta la energía medida por su curvatura de Ricci. En la ausencia de la materia, que es de $en \ \ el \ vacío,$ el espacio-tiempo debe estar en un mínimo de energía Ricci plana de configuración. Por lo que $X$ debe ser tal que admite una métrica de la desaparición de la curvatura de Ricci.

Para llegar a la Calabi-Yau condición tenemos que añadir uno más físico criterio y esto se llama la supersimetría. La supersimetría es una muy atractiva hipótesis de simetría de la naturaleza que dice que los bosones (por ejemplo, los fotones), y fermiones (por ejemplo, electrones) se vinculen entre sí y relacionados. Matemáticamente fermiones son descritos por spinor valores de campos en espacio-tiempo, mientras que los bosones son descritos por funciones o formas en el espacio-tiempo. Para relacionar estos objetos, y por lo tanto tienen una teoría de la supersimetría, lo que se requiere es un covariantly constante spinor campo en $X$. Esta restricción en $X$ reduce su holonomy de que, en general, de Riemanian 6-colector, $LO(6)$, $SU(3)$. De hecho, $LO(6)$ es localmente isomorfo a $SU(4)$ y la spinor representación es de $4 \oplus \bar{4}$ donde 4 denota la fundamental de la representación de los $SU(4)$. Ya que $$ X admite una covairiantly constante spinor su holonomy deben estar incluidas en el subgrupo de $SU(4)$ que estabiliza un spinor, y está claro que la forma de la descomposición de arriba que este subgrupo es de $SU(3)$. Por lo tanto, de la supersimetría, $X$ se debe Calabi-Yau.

Por lo tanto, podemos ahora claramente el estado de la telefonía exactamente qué es lo que Calabi-Yau threefolds describir físicamente. Ellos son los más bajos de la energía de vacío configuraciones de la teoría de cuerdas, donde la física es supersimétricas. Para más detalles de los que uno podría querer tomar una mirada en el libro "Simetría" por Vafa y Zaslow.

Answer 3

Esta es una pregunta muy buena, y realmente me gustaría saber la respuesta ya que su actual estado parece ser bastante oscuro. A continuación es sólo una colección de comentarios, seguramente no es la respuesta completa por cualquier medio. Me gustaría argumentar que por el momento no hay ningún matemático profundo razón para pensar que el número de Euler de CY 3-pliegues está acotada. Yo no creo que hay alguna intuición física en esta materia. Pero hay algo de información empírica, y voy a describir ahora, empezando por hablar de cómo muchos topológico tipos de CY colectores sabemos por el momento".

Entiendo que para el día de hoy la construcción de Calabi-Yau de 3 pliegues, que trajo de lejos, la mayor cantidad de ejemplos es el de la construcción de Batyrev. Comienza con una reflexiva polytope en la dimensión 4, toma la correspondiente tórica 4 veces, toma un genérico anti-canónica de la sección y obtiene de esta manera un Calabi-Yau orbifold. Siempre hay un crepant resolución. Así se obtiene un suave Calabi-Yau. Reflexiva polytopes en la dimensión 4 se clasifican el número es 473,800,776. Supongo que, en este número vamos a miles Reid dice en su artículo "Actualizaciones en 3-pliegues" en el año 2002 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0206/0206157v3.pdf , página 519

"Esto da una 500,000,000 familias de CY 3-pliegues, mucho más impresionante que un simple infinito (ver el sitio web http://tph16.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/). Sin duda hay muchos más; yo creo que hay infinitamente muchas familias, sino por el contrario es una opinión extendida"

Un problema con el número 500,000,000 en esta frase es que parece más relacionado con el número de CY orbifolds, en vez del número de CY colectores obtenidos a través de la resolución de ellos. Es decir, de las singularidades que aparecen en estos CY orbifolds puede ser bastante complicado y tienen un montón de resoluciones (supongo que al menos a veces miles), por lo que el significado de 500,000,000 no está muy claro aquí.

Este verano me preguntó Maximiliano Kreuzer (una de las personas que en realidad tiene este número 473,800,776 de polytopes), una pregunta similar a lo que pregunte aquí. Y él dijo que él puede garantizar que no exista al menos 30108 topológico tipos de CY de 3 pliegues. Por qué? Porque para todos estos ejemplos se puede calcular Hodge números $h^{1,1}$ y $h^{2,1}$, y usted consigue 30108 valores diferentes. Mucho menos que 473,800,776. Como para los más refinados invariantes topológicos (como la multiplicación en cohomology) según él, esto no era muy estudiado, por lo que lamentablemente 30108 parece ser la cantidad máxima garantizada para el día de hoy. Pero realmente me gustaría saber de que estoy cometiendo un error aquí, y hay algunos otros datos.

Ahora, a mí me parece que la razón por la que algunas personas dicen que el de Euler características de CY 3-pliegues podría ser limitada es puramente empírico. Es decir, la búsqueda de CY 3-pliegues va para 20 años ya. Desde entonces una gran cantidad de nuevas familias que se han encontrado. Sabemos que la simetría de espejo comenzó con este simétrica tabla de números "($h^{1,1}, h^{2,1})$", y el dato curioso es que, según Maximiliano, ¿qué le pasó a esta tabla en 20 años-no tiene más amplios, en 20 años, se ha vuelto más denso. La famosa foto puede ser encontrada en la página 9 de las siguientes notas de Domingo Joyce http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/SympGeom2009/SGlect13+14.pdf . Así, esto significa que nos encontramos con nuevas familias de CY colectores, todo el tiempo. Pero los valores de sus Hodge números por alguna razón permanecen en la misma región. Por supuesto, esto podría significar que estamos a sólo carecen de una buena construcción.

Comentario Final es que en la primera versión de esta pregunta se propuso estudiar la posibilidad complejo de la analítica de colectores con $c_1=0$. Si no imponemos la condición de estado de Kahler, luego ya en el complejo de la dimensión 2 hay infinito número de topológico tipos, dado por Kodaira las superficies, son elípticas paquetes de más de curva elíptica. En el complejo de dimensión 3 Tian han demostrado que por cada $n>1$ no es un holomorphic estructura conecta en el que la suma de n copias de $S^3\times S^3$, con una no-desaparición de holomorphic forma. Seguramente, estos colectores no son Kahler. Así que si usted quiere hablar acerca de cualquier finitud, es necesario discutir decir, Kahler de 3 pliegues con los no-desaparición de holomorphic forma de volumen, pero no todo el complejo de la analítica.