Historia de las series de potencia para $e^x$ y el interés compuesto

Question

Como se ha comentado en ¿Cómo se aproximó Bernoulli $e$ ? Bernoulli demostró que $2\frac{1}{2} < e < 3$ en este documento:

https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false

Da una fórmula que escribiríamos como $$ a + b + \frac{b^2}{2!\cdot a} + \frac{b^3}{3!\cdot a^2} + \frac{b^4}{4!\cdot a^3} + \frac{b^5}{5!\cdot a^4} + \ldots $$

por el importe que recibiría un acreedor por una inversión de $a$ a un interés anual $b$ durante un año con intereses compuestos continuamente. Una vez que te das cuenta de que el tipo de interés, $r$ decir, no es $b$ pero $\frac{b}{a}$ (es decir, $b$ es una suma de dinero, no una proporción), esto es lo que se espera: $$ a (1 + \frac{r}{1!} + \frac{r^2}{2!} + \frac{r^3}{3!} + \ldots) = a e^{r}. $$

Mis preguntas son: (1) ¿tengo razón al pensar que Bernoulli no pretende demostrar esta fórmula en este trabajo, sino que la da por conocida? (2) ¿cómo se demostró la fórmula por primera vez? Es bastante fácil ver que la cantidad al final del año debería estar dada por el siguiente límite (suponiendo que exista) $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n $$ pero no es particularmente fácil demostrar algebraicamente que el coeficiente de $r^n$ en esta secuencia de polinomios tiende a $\frac{1}{n!}$ . ¿Se demostró primero la equivalencia de las dos fórmulas investigando estos coeficientes o modelando el interés compuesto continuo mediante integración, o qué?

Answer 1

En primer lugar, considere $a=1$ para facilitar los cálculos. A continuación, considere $b,r=1$ . Entonces obtendríamos la expansión de la serie taylor para $e$ .

Hay que tener en cuenta que Bernoulli no conocía el valor exacto de $e$ . Pero con esta serie, podría aproximarse $e$ .

Creo que la serie se deriva de la siguiente manera:

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Se comienza con $a$ cantidad de dinero en efectivo. Usted gana una tasa $\frac {100} r$ % (la tasa debe ser inferior a uno) cantidad de efectivo cada $\frac{1year}{r}$ para que la obtención de tipos más bajos se traduzca en intereses más frecuentes.

Por ejemplo, si $r=1$ Entonces ganarías $100$ % de interés después de 1 año.

Si $r=2$ Entonces ganarías $50$ % de interés cada 6 meses, o dos veces en un año.

Y para $r=2$ vemos una serie matemática. Comenzamos con $a$ dólares. Entonces ganamos $b$ dólares ( $b=a*\frac 1r$ (fórmula del interés compuesto) después de los primeros 6 meses. Entonces ganamos $\frac{b^2}{2!a}$ si no me equivoco.

Nuestra cantidad final de dinero ganada sería $$S_2=a+b+\frac{b^2}{2!a}$$ Pero Bernoulli se dio cuenta de que teníamos la siguiente serie: $$S_{r}=a+b+\frac{b^2}{2!a}+...\frac{b^r}{r!a^{r-1}}$$

Y llevando esto a $\infty$ nos da la serie de Taylor de $ae^r$

Observó que la serie se acercaba a una especie de límite, $2.5<e<3$ que ha calculado introduciendo en su interior un número cada vez mayor de $r$ 's, si estoy en lo cierto.

Puede que esta no sea la forma exacta en que Bernoulli resolvió esto, pero es mi mejor respuesta.