¿Qué puedo hacer con la teoría de la medida que yo no puedo con la probabilidad y la estadística

Question

He estudiado matemáticas y estadísticas a nivel de pregrado y estoy bastante contento con los principales conceptos. Sin embargo, he llegado a través de teoría de la medida varias veces, y sé que es una base para la teoría de la probabilidad, y, sorpresa, mirando una introducción básica como esta Teoría de la Medida Tutorial (pdf), veo que hay conceptos tales como eventos, muestra los espacios y las formas de llegar a los números reales, que parecen familiares.

Con el fin de medir teoría parece como un área de la matemática pura que probablemente se debe a estudio (como se explica muy bien aquí), pero tengo un montón de otras áreas que me gustaría ver. Por ejemplo, estoy estudiando y utilizando el cálculo y desarrollo en serie de Taylor en un nivel más avanzado y nunca he estudiado análisis real de forma adecuada; y puedo decir! En el futuro me gustaría estudiar la teoría de ecuaciones diferenciales y transformadas integrales, y para ello creo que voy a necesitar para el estudio de análisis complejo. Pero no tengo el mismo tipo de "yo no sé lo que estoy haciendo" sentimiento cuando hago la probabilidad y de la estadística como cuando me miro en el cálculo, de la serie, o la integral se transforma, así que los que se parecen mucho más urgente a mí desde una perspectiva fundacional.

Así que mi pregunta real es, ¿hay alguna aplicación relativas a la probabilidad y estadística que yo no puede abordar sin la teoría de la medida, o para el caso de las aplicaciones en otras áreas? O es más, me alegro de que aquellos teoría de la medida chicos tienen las bases trabajado, que puedo confiar en ellos hicieron un buen trabajo y conseguir con el uso de lo construido en la parte superior?

Answer 1

En primer lugar, hay cosas que son mucho más fácil dado el resumen formultion de teoría de la medida. Por ejemplo, supongamos $X,Y$ ser independiente de las variables aleatorias y deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Se $f\circ X$ $f\circ Y$ independiente de variables aleatorias. La respuesta es absolutamente trivial en la medida teórico de la formulación de la probabilidad, pero muy difícil de expresar en términos de funciones de distribución acumulativa. Del mismo modo, la convergencia en distribución es realmente difícil de trabajar en términos de funciones de distribución acumulativa, pero expresa fácilmente con la teoría de la medida.

Luego, hay cosas que uno puede consumir sin mucho conocimiento, pero que requiere la teoría de la medida para realmente entender y ser cómodo con él. Puede ser fácil para obtener una buena intuitin para las secuencias de tiradas de la moneda, pero ¿qué de tiempo continuo de procesos estocásticos? Cómo irregulares pueden degustar las rutas de ser?

Luego están los poderosos métodos que realmente requieren teoría de la medida. Uno puede obtener una gran cantidad de un poco de teoría de la medida. El Borel-Cantelli lemas o el test de Kolmogorov 0-1-ley no son difíciles de demostrar, pero difícil incluso para el estado sin la teoría de la medida. Sin embargo, son inmensamente útiles. Algunos resultados de la teoría de la probabilidad requieren muy profunda de la teoría de la medida. Los dos tomos del libro de Probabilidad Con una Vista Hacia la Estadística de Hoffman-Jorgensen contiene una gran cantidad de muy avanzada teoría de la medida.

Todo lo que se dice, hay un montón de estadísticos que vivir felices para evitar cualquier teoría de la medida. Existen, sin embargo, no real analistas que realmente se puede hacer sin la teoría de la medida.

Answer 2

La respuesta habitual es el de curso de teoría de la medida no es sólo proporciona el lenguaje adecuado para riguroso declaraciones, sino que permite alcanzar el progreso no es posible sin ella. El único lugar que he encontrado un punto de vista diferente, es un extraordinario libro de Edwin Jaynes, la Teoría de la Probabilidad: La Lógica de la Ciencia, que es el verdadero placer de leer. Aquí está una exctract del Apéndice B. 3: Willy Feller en teoría de la medida:

En contraste con nuestra política, muchos de los planteamientos de la teoría de la probabilidad comenzar desde el principio para tratar de asignar las probabilidades de conjuntos infinitos, tanto contables o incontables. A aquellos que utilizan la teoría de la medida, en efecto, suponiendo que el paso a un conjunto infinito realizado ya antes de la introducción de las probabilidades. Por ejemplo, Feller los defensores de esta política y se utiliza a lo largo de su segundo volumen (Feller, 1966).

En la discusión de este tema, Feller (1966) señala que los especialistas en diversas aplicaciones a veces 'negar la necesidad de la teoría de la medida, porque ellos no conocen los problemas de otros tipos y con situaciones donde vaga el razonamiento llevar a resultados equivocados'. Si Feller sabía de ningún caso en el que tal cosa ha sucedido, este sería, sin duda, ha sido el lugar de la cita, pero él no. Por lo tanto seguimos siendo, como él dice, no familiarizados con casos en los que la mala resultados podrían ser atribuido a la falta de uso de teoría de la medida.

Pero, como se señaló, en particular, en el Capítulo 15, hay muchos documentable casos donde el uso descuidado de conjuntos infinitos ha llevado a absurdos.No sabemos de ningún caso donde nuestro 'prudencia' política conduce a inconsistencia o error; o no para producir un resultado que es razonable.

No usamos la notación de la teoría de la medida porque supone el paso a una infinita límite ya se llevó a cabo en el comienzo de una derivación en el desafío de los consejos de Gauss, el citado en el inicio del Capítulo 15. Pero en nuestros cálculos nos suelen pasar a un límite infinito en el final de un derivación; luego, en efecto, estamos utilizando una 'medida de Lebesgue' directamente en su significado original. Pensamos que la falta de uso actual de la teoría de la medida notación no es 'vago razonamiento"; muy por el contrario. Es un cuestión de hacer las cosas en el orden correcto.

Usted debe terminar de leer todo el texto de referencia que me dio anteriormente.