La prueba por contradicción es simple. No es tanto que si una declaración falsa es verdadera, entonces llegamos a una contradicción. Más bien, una mejor manera de verlo es pensar, "si la afirmación es verdadera, una afirmación cuya verdad o falsedad no se ha establecido aún, luego llegamos a una contradicción; por lo tanto el original de la declaración no puede ser cierto".
Tomar su prueba de la irracionalidad de $\sqrt{3}$ como un ejemplo. Al principio, no hemos establecido aún si o no $\sqrt{3}$ es irracional (o racional). Y no sabemos hasta que la prueba está completa. Pero que sin duda puede razonar acerca de ello por primera suponiendo que si $\sqrt{3}$ era racional, entonces existen dos enteros positivos $p, q$ tales que $q$ no dividir $p$, de los cuales $p/q = \sqrt{3}$. Que se deriva de la suposición de racionalidad. A continuación, siguiendo la lógica de la cadena, se llega a una contradicción. Así que si todos los pasos consecuentes de la original suposición es válida, pero la conclusión es inconsistente, entonces el original de la suposición de que podría no ser cierto. Tenga en cuenta que en esta cadena de razonamiento, en ningún momento podemos afirmar que efectivamente el original suposición es verdadera, ya que, como hemos tenido el cuidado de mencionar, no sabemos si es o no hasta que la prueba está completa. Sólo estamos diciendo que si fuera el caso, se llegaría a una contradicción.
Aquí es menos un ejemplo trivial. Algunas conjeturas permanecerá abierta en el sentido de que no sabemos cuál es la respuesta. Considerar la Collatz recursividad $$x_{n+1} = \begin{casos} 3 x_n + 1, y x_n \text{ es impar} \\ x_n / 2, y x_n \text{ es aún}. \end{casos}$$ La conjetura es que para cada entero positivo $m$, la secuencia de $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, con $x_0 = m$ $1$ como un elemento de la secuencia.
Si tratamos de demostrar esta conjetura es VERDADERA por la contradicción, la suposición de que hemos de suponer que empezar es por que existe un entero positivo m $^*$ que si $x_0 = m^*$, la secuencia de $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ nunca $1$ y, a continuación, mediante el uso de algunos que aún se desconocen deducción lógica a partir de esta suposición, si podemos llegar a una contradicción, luego nos han demostrado que la conjetura es verdadera.
Pero tenga en cuenta lo que he dicho arriba: esta es una pregunta abierta! Nadie sabe si es cierto o falso. Así que no se puede decir que mi lógica no es válido porque tengo un a priori supone algo que yo ya sé que no es el caso!
Ahora, si yo les deseo a refutar la conjetura, sería suficiente para encontrar un ejemplo de $m^*$ como he descrito anteriormente. Pero un amplio equipo de búsqueda se ha convertido, no hay tal contraejemplo. Esto lleva a muchos a creer que la conjetura es verdadera, pero ningún método constructivo para justificar esa creencia. Matemática y de la teoría de números, en particular, contiene muchos ejemplos de afirmaciones que aparecen verdadero, pero tienen su más pequeño, conocido como contraejemplos para números muy grandes.
Así, no es mi "informal" explicación de la prueba por contradicción. La esencia es que no podemos presumir de conocer la verdad o falsedad de una afirmación o declaración en el comienzo de la prueba, así que no puede ser acusado de asumir lo que es falso. La falsedad se establece una vez que la contradicción es la que se muestra.
