Como Rotman, o Voloch, construcciones de Dubuque respuestas del show, usted no puede recuperar exactamente "la definición habitual" de la localización de un anillo de su universal de los bienes. Es decir, una característica universal no decir que, en general, cómo construir un objeto que lo comprueba (como se puede ver, hay, al menos, dos construcciones para la localización, tanto la verificación de la característica universal: ¿cómo vas a elegir entre ellos?). Lo universal de la propiedad va a decir es que todos los chicos de verificar que necesariamente son isomorfos: por ejemplo, la construcción de Vakil notas, y Rotman es necesariamente son isomorfos.
Precisamente, vamos a quedarnos con los anillos y deje $\gamma' : A \longrightarrow B$ ser un tipo que cumple la característica universal de la localización. Deje $\gamma: A \longrightarrow S^{-1}A$ denotar la construcción de la localización se explica en Vakil notas, 2.3.3. Entonces, ya que tanto $S^{-1}A$ $B$ satisfacer universal de los bienes, tendrá morfismos $\widetilde{\gamma} : S^{-1}A \longrightarrow B$ $\widetilde{\gamma'}: B \longrightarrow S^{-1}A$ tal que $\widetilde{\gamma'}\gamma = \gamma'$$\widetilde{\gamma}\gamma' = \gamma$. Vamos a demostrar que tanto $\widetilde{\gamma}$ $\widetilde{\gamma'}$ son inversos el uno del otro. Por ejemplo, $\widetilde{\gamma'} \widetilde{\gamma} = \mathrm{id}_B$ porque
$$
(\widetilde{\gamma'} \widetilde{\gamma})\gamma' = \widetilde{\gamma'}\gamma = \gamma' \ .
$$
Pero $\mathrm{id}_B$ verifica la misma identidad claramente:
$$
\mathrm{id}_B \gamma'= \gamma' \ .
$$
Por lo tanto, debido a la singularidad de la universal de los bienes, debe tener
$$
\widetilde{\gamma'} \widetilde{\gamma} = \mathrm{id}_B \ .
$$
De forma análoga,
$$
\widetilde{\gamma}\widetilde{\gamma'} = \mathrm{id}_{S^{-1}A} \ .
$$
Lo que puede (y debe) hacer es verificar que la habitual definición (construcción) de la localización verifica el universal de la propiedad. Es decir, dado que algunos de morfismos de anillos de $\varphi : A \longrightarrow B$ tal que $\varphi s \in B$ es una unidad para cada $s \in S$, entonces no hay una única morfismos de anillos de $\widetilde{\varphi} : S^{-1}A \longrightarrow B$ tal que $\widetilde{\varphi}\gamma = \varphi$.
Sugerencia: usted puede fácilmente verificar que
$$
\widetilde{\varphi} \left( \frac{a}{s} \right) = \frac{\varphi (a)}{\varphi (s)}
$$
es bien definida (es decir, si $\frac{a}{s} = \frac{b}{t}$,$\widetilde{\varphi}\left( \frac{a}{s} \right) = \widetilde{\varphi}\left( \frac{b}{t} \right) $), es una de morfismos de anillos, verifica $\widetilde{\varphi} \gamma = \varphi$ y es único (es decir, si había otro $\psi : S^{-1}A \longrightarrow B$ tal que $\psi\gamma = \varphi$,$\psi = \widetilde{\varphi}$).
