$n^{th}$ derivado de $\cot x$

Question

¿Qué es la $n^{th}$ derivado de $\cot(x)$ ?

He intentado diferenciarlo muchas veces:

No veo que se forme un patrón. Por favor, ayuda.

Answer 1

Hay un patrón, pero no es sencillo. Al parecer, el patrón se encontró hace muy poco tiempo:

V.S. Adamchik, Sobre la función de Hurwitz para argumentos racionales , Matemáticas aplicadas y computación Volumen 187, número 1, 1 de abril de 2007, páginas 3-12

Véase el lema 2.1. El texto está disponible en el sitio del autor: pdf

También hay una fórmula de recursión:

Si $\dfrac{d^n}{dx^n} \cot x = (-1)^n P_n(\cot x)$ entonces $P_0(u)=u$ , $P_1(u)=u^2+1$ y $$P_{n+1}(u) = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} P_j(u) P_{n-j}(u)$$ para $n\ge 1$ .

Esta fórmula aparece en

Michael E. Hoffman, Polinomios derivados para la tangente y la secante , The American Mathematical Monthly , Vol. 102, No. 1 (enero, 1995), pp. 23-30

Conocí esta fórmula y el papel en

Kurt Siegfried Kölbig, La función poligama y las derivadas de la función cotangente para argumentos racionales , CERN-CN-96-005, 1996.