¿Qué es la $n^{th}$ derivado de $\cot(x)$ ?
He intentado diferenciarlo muchas veces:
No veo que se forme un patrón. Por favor, ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
lhf
Puntos
83572
Hay un patrón, pero no es sencillo. Al parecer, el patrón se encontró hace muy poco tiempo:
V.S. Adamchik, Sobre la función de Hurwitz para argumentos racionales , Matemáticas aplicadas y computación Volumen 187, número 1, 1 de abril de 2007, páginas 3-12
Véase el lema 2.1. El texto está disponible en el sitio del autor: pdf
También hay una fórmula de recursión:
Si $\dfrac{d^n}{dx^n} \cot x = (-1)^n P_n(\cot x)$ entonces $P_0(u)=u$ , $P_1(u)=u^2+1$ y $$ P_{n+1}(u) = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} P_j(u) P_{n-j}(u) $$ para $n\ge 1$ .
Esta fórmula aparece en
Michael E. Hoffman, Polinomios derivados para la tangente y la secante , The American Mathematical Monthly , Vol. 102, No. 1 (enero, 1995), pp. 23-30
Conocí esta fórmula y el papel en
Kurt Siegfried Kölbig, La función poligama y las derivadas de la función cotangente para argumentos racionales , CERN-CN-96-005, 1996.
4 votos
Bueno, ciertamente hay un patrón -- estás obteniendo un polinomio en cot(x) que es alternativamente par/impar y cuyo grado es el orden del operador diferencial + 1. Así que, asumiendo este hecho, puedes escribir fórmulas recursivas explícitas para los coeficientes.
3 votos
¿Qué tipo de respuesta busca? ¿Forma cerrada? ¿Recursiva? ¿Suma? ¿Otra?