Demostrando Hölder la Desigualdad

Question

Deje $f,g,\alpha:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ $\alpha$ el aumento y $f,g \in \mathscr{R}(\alpha)$, e $p,q>0$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demostrar que $$\left|\int_a^b f(x)g(x)d\alpha\right|\leq \left(\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha \right)^{1/p} \left(\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha \right)^{1/q}$$

Estoy usando Jóvenes de la desigualdad, la cual establece que para $a,b>0$, $uv\leq \frac{1}{p}u^{p}+\frac{1}{q}v^{q}$. Esto me lleva tan lejos como muestra de que la $$\left|\int_a^b f(x)g(x)d\alpha\right|\leq \int\left( \frac {1}{p}|f(x)|^p +\frac{1}{q}|g(x)|^q\right)d\alpha$$

Pero aquí estoy atascado. Soy vagamente pensar que yo podría usar el hecho de que $\frac {1}{p}|f(x)|^p +\frac{1}{q}|g(x)|^q$ es una combinación convexa y lo que si hago un poco de la desigualdad de Jensen tipo de cosa, pero no puedo encontrar una manera para hacer que funcione.

Answer 1

Supongamos $\displaystyle\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha\neq 0$$\displaystyle\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha\neq 0$. De lo contrario, si $\displaystyle\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha=0$,$f\equiv 0$.e. y el Titular de la desigualdad es trivial en este caso.

Ahora la aplicación de Jóvenes de la desigualdad con $u=\displaystyle\frac{|f(x)|}{(\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha)^{\frac{1}{p}}}$$v=\displaystyle\frac{|g(x)|}{(\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha)^{\frac{1}{q}}}$, tenemos $$\frac{|f(x)|}{(\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha)^{\frac{1}{p}}}\cdot\frac{|g(x)|}{(\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha)^{\frac{1}{q}}}\leq\frac{1}{p}\frac{|f(x)|^p}{\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha}+\frac{1}{q}\frac{|g(x)|^q}{\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha}.$$ La integración de $a$ $b$con respecto al $d\alpha$, obtenemos $$\frac{\int_a^b|f(x)||g(x)|d\alpha}{(\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha)^{\frac{1}{p}}(\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha)^{\frac{1}{q}}}\leq\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ lo que implica que $$ \tag{1}\int_a^b|f(x)||g(x)|d\alpha\leq\left(\int_a^b \left|f(x)\right|^p d\alpha \right)^{1/p} \left(\int_a^b \left|g(x)\right|^q d\alpha \right)^{1/q}.$$ Ahora la desigualdad que queremos probar de la siguiente manera de $(1)$ y la desigualdad $$\left|\int_a^b f(x)g(x)d\alpha\right|\leq\int_a^b|f(x)||g(x)|d\alpha.$$

Answer 2

Creo que la siguiente podría ser una forma de llegar con la prueba de H$\ddot { o } $lder de la desigualdad.

En primer lugar, es fácil demostrar que $$f=-log(x)$$ is a convex function. (a function $f$ is convex if and only if $dom$ $f$ es convexa y su Hesse es positivo semidefinite: para todos los $x\in$$dom$ $f$).$${ \triangledown }^{ 2 }f(x)\ge 0$$

Entonces, de acuerdo a la definición de función convexa: $$f(\theta a+(1-\theta )b)\le \theta f(a)+(1-\theta )f(b)$$ for all $a,b\in$$dom$ $f$, y $0\le \theta \le 1$

Vamos a tener: $$-log(\theta a+(1-\theta )b)\le -\theta log(a)-(1-\theta )log(b)$$ for $a,b\ge 0$

después tome la exponencial de ambos lados se obtiene:$${ a }^{ \theta }{ b }^{ 1-\theta }\le \theta a+(1-\theta )b$$

la aplicación de este con:$$a=\frac { { \left| f(x) \right| }^{ p } }{ \int _{ a }^{ b }{ { \left| f(x) \right| }^{ p } } }, b=\frac { { \left| g(x) \right| }^{ q } }{ \int _{ a }^{ b }{ { \left| g(x) \right| }^{ q } } }, \theta =1/p$$

rendimientos $$\frac { \left| f(x) \right| }{ { (\int _{ a }^{ b }{ { \left| f(x) \right| }^{ p }d\alpha } ) }^{ \frac { 1 }{ p } } } \cdot \frac { \left| g(x) \right| }{ { (\int _{ a }^{ b }{ { \left| g(x) \right| }^{ q }d\alpha } ) }^{ \frac { 1 }{ q } } } \le \frac { 1 }{ p } \frac { \left| f(x) \right| ^{ p } }{ \int _{ a }^{ b }{ { \left| f(x) \right| }^{ p }d\alpha } } +\frac { 1 }{ q } \frac { \left| g(x) \right| ^{ q } }{ \int _{ a }^{ b }{ { \left| g(x) \right| }^{ q }d\alpha } } $$

Finalmente, se integrará de a a b con respecto a da obtendrá $H\ddot { o } lder$'s de la desigualdad.

Referencia: 《Optimización Convexa》Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe $Chapter3,p78$