$\left( \frac{1 \cdot 2}{p} \right) + \left( \frac{2 \cdot 3}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{(p-2)(p-1)}{p} \right) = -1$

Question

Deje $p$ ser un número primo impar. Demostrar que $$\left( \frac{1 \cdot 2}{p} \right) + \left( \frac{2 \cdot 3}{p} \right) + \left( \frac{3 \cdot 4}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{(p-2)(p-1)}{p} \right) = -1$$ where $\left( \frac{a}{p}\right)$ es el símbolo de Legendre.

Este parece ser un tema muy delicado! He intentado usar la propiedad $\left( \frac{ab}{p} \right)=\left( \frac{a}{p}\right) \left( \frac{b}{p} \right)$ y el primer factoring, todos los no-primos, pero fue en vano. He tenido un rápido pensamiento de inducción jaja, pero que era tonto. Traté de factoring el común de Legendre símbolos como $\left( \frac{3}{p}\right) \left[ \left( \frac{2}{p} \right) + \left( \frac{4}{p} \right) \right]$ pero que no traen nada. Y he estado buscando pares de cancelación con $1$ plazo de sobra, pero que no parece funcionar.

Puede usted ayudar?

Answer 1

Deje $a^\ast$ ser la inversa de a $a$ modulo $p$. Entonces $$\left(\frac{a(a+1)}{p}\right)=\left(\frac{a(a+aa^\ast)}{p}\right)=\left(\frac{a^2(1+a^\ast)}{p}\right)=\left(\frac{1+a^\ast}{p}\right).$$

Como $a$ rangos de$1$$p-2$, el número de $1+a^\ast$ rangos, modulo $p$, a través de los enteros de $2$$p-1$. Pero la suma de $1$ $p-1$de los símbolos de Legendre es $0$, por lo que nuestra suma es $-1$.