Correlaciones alcanzables para variables aleatorias exponenciales

Question

¿Cuál es el rango de correlaciones alcanzables para el par de variables aleatorias distribuidas exponencialmente $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ y $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ donde $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ ¿son los parámetros de la tasa?

Answer 1

Sea $\rho_{\min}$ (resp. $\rho_{\max}$ ) denotan el límite inferior (resp. superior) de la correlación alcanzable entre $X_1$ y $X_2$ . Los límites $\rho_{\min}$ y $\rho_{\max}$ se alcanzan cuando $X_1$ y $X_2$ son respectivamente contramonótonas y comonótonas (véase aquí ).

Límite inferior
Para determinar el límite inferior $\rho_{\min}$ construimos un par de variables exponenciales contramonotónicas y calculamos su correlación.

La condición necesaria y suficiente mencionada aquí y el transformada integral de probabilidad proporcionan una forma cómoda de construir las variables aleatorias $X_1$ y $X_2$ tales que sean contramonotónicas.
Recordemos que la función de distribución exponencial es $F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ , por lo que la función cuantil es $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$ .

Sea $U\sim U(0, 1)$ sea una variable aleatoria uniformemente distribuida, entonces $1-U$ también está uniformemente distribuida y las variables aleatorias $$ X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U) $$ tienen la distribución exponencial con tasa $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente. Además, son contramonotónicas, ya que $X_1 = h_1(U)$ y $X_2 = h_2(U)$ y las funciones $h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ y $h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$ son respectivamente creciente y decreciente.

Ahora, calculemos la correlación de $X_1$ y $X_2$ . Por las propiedades de la distribución exponencial tenemos ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ , ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ , ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ y ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$ . Además, tenemos \begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align} donde $f_U(u) \equiv 1$ es la función de densidad de la distribución uniforme estándar. Para la última igualdad me he basado en WolframAlpha .

Así, \begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align} Obsérvese que el límite inferior no depende de los tipos $\lambda_1$ y $\lambda_2$ y que la correlación nunca alcanza $-1$ incluso cuando ambos márgenes son iguales (es decir, cuando $\lambda_1 = \lambda_2$ ).

Límite superior
Para determinar el límite superior $\rho_{\max}$ seguimos un enfoque similar con un par de variables exponenciales comonotónicas. Supongamos que $X_1 = g_1(U)$ y $X_2 = g_2(U)$ donde $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ y $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ , que son ambas funciones crecientes. Por tanto, estas variables aleatorias son comonótonas y ambas se distribuyen exponencialmente con tasas $\lambda_1$ y $\lambda_2$ .

Tenemos \begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align} y así, \begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align} Al igual que el límite inferior, el límite superior no depende de los tipos $\lambda_1$ y $\lambda_2$ .