La probabilidad de colisión Múltiple en el Problema del Cumpleaños

Question

Necesito ayuda con una aproximación sobre el problema del cumpleaños. En un reciente MAA Mensual (agosto-septiembre de 2013) el artículo "la Simple Aproximación de las Fórmulas para el Problema del Cumpleaños" de Matthias Arnold y Werner Vidrio, los autores afirman que la probabilidad de $p$ que de $n$ de personas con al menos $k$ cumpleaños ocurrir en un solo día, en un año con $c$ días es de aproximadamente $$p\approx1-\exp\,\left(\!n^k{\textrm{e}}^{-n/c}\left(\!\frac n{c(k+1)} -1\!\right)^{\!-1}c^{1-k}(k!)^{-1}\!\right).$$

Los autores citan esta fórmula de 1989 en un papel "Métodos para el Estudio de las Coincidencias" por Persi Diaconis y Frederick Mosteller. Por desgracia, esta referencia sólo a los reclamos de la fórmula proviene de trabajos inéditos, y no da más referencias. ¿Alguien puede proporcionar información sobre cómo obtener una fórmula?

Answer 1

Aquí es un enfoque que parece obtiene la mayor parte de la manera de que la expresión:

Deje $F_\lambda(x)=P(X\le x)$ ser la función de distribución acumulativa de una distribución de Poisson con una media de $\lambda$. Tendremos $F_\lambda(x-1) \lt 1 - P(X=x)=1-e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$, pero este estará cerca de $x \gg \lambda$.

A continuación, para un día concreto, la probabilidad de que menos de $k$ cumpleaños cae en ese día tiene un binomio expresión, pero se puede aproximar con una distribución de Poisson de expresión mediante $\lambda=\frac{n}{c}$. Así, podríamos decir que podría ser acerca de $1-e^{-n/c} \dfrac{(n/c)^k}{k!}$.

Haciendo un poco mal el supuesto de que el número de cumpleaños que cae sobre cada día es prácticamente independiente del número de otros días, la probabilidad de que están todas por debajo de $k$ podría ser $\left(1-e^{-n/c} \dfrac{(n/c)^k}{k!}\right)^c$, con lo cual, el uso de $\left(1-\frac{b}{m}\right)^m \approx \exp(-b)$, podría ser $\exp\left(-e^{-n/c}\dfrac{n^k}{c^{k-1} k!} \right)$. Reste esta de $1$ para obtener una aproximación a la probabilidad de que fuera de la $n$ de personas con al menos $k$ cumpleaños ocurrir en un solo día, en un año con $c$ días.

Esta no es la misma expresión que usted ha citado, como lo ha $-1$ donde su comilla ha $\left(\dfrac n{c(k+1)} -1\right)^{-1}$, pero tiene todo el resto de elementos.