Una conjetura $\int_{-\infty}^\infty\frac{\arctan e^x}{\cosh x}\cdot\frac{\tanh\frac{x}2}{x}dx\stackrel?=\frac\pi2\ln2$

Question

Necesito encontrar una forma cerrada para esta integral: $$\mathcal{I}=\int_{-\infty}^\infty\frac{\arctan e^x}{\cosh x}\cdot\frac{\tanh\frac{x}2}{x}dx.$$ Una integración numérica de los resultados en una aproximación a $\mathcal{I}\approx1.0887930451518...$, y WolframAlpha sugiere una posible forma cerrada para este número: $$\mathcal{I}\stackrel?=\frac\pi2\ln2$$

Es el valor correcto de esta integral? Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

La sustitución de $x \mapsto -x$, tenemos

$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan e^{x}}{\cosh x} \, \tanh\left(\frac{x}{2}\right) \, \frac{dx}{x}. $$

De promedio,

\begin{align*} I &= \frac{\pi}{4} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tanh(x/2)}{\cosh x} \, \frac{dx}{x} \\ &= \pi \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}(1 - e^{-x})}{(1 + e^{-2x})(1 + e^{-x})} \, \frac{dx}{x} \\ &= \pi \int_{0}^{\infty} \left( \frac{e^{-x}}{1+ e^{-x}} - \frac{e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \right) \, \frac{dx}{x}. \tag{1} \end{align*}

Tenga en cuenta que la última integral pertenece a la clase de integrales llamado Frullani integral:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx. \tag{2} $$

De forma heurística, podemos evaluar (2) como

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx &= \int_{0}^{\infty} \int_{a}^{b} f'(xt) \, dtdx = \int_{a}^{b} \int_{0}^{\infty} f'(xt) \, dxdt \\ &= \int_{a}^{b} \frac{f(\infty) - f(0)}{t} dt = \{ f(\infty) - f(0) \} \log\left(\frac{b}{a}\right) \end{align*}

y esto se justifica a través del teorema de Fubini si $f$ es absoultely continua y $f'$ es integrable o no negativo en $[0, \infty)$, lo que es claro en el caso de

$$f(x) = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$$

con $(a, b) = (1, 2)$. Por lo tanto se deduce que

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{e^{-x}}{1+ e^{-x}} - \frac{e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \right) \, \frac{dx}{x} &= \frac{1}{2}\log 2. \end{align*}

Conectando de nuevo a (1), obtenemos el resultado deseado.