Complementa los espacios de Banach.

Question

Deje $X$ ser espacio de Banach y $Y$ un subespacio cerrado de $X$. Asumir que existe un cerrado "subconjunto" $Z$ $X$ con las propiedades:

$Z\cap Y=\{0\}$ y cada una de las $x\in X$ puede ser escrito en una forma única, como $x=y+z$ $y\in Y$ $z\in Z$

Podemos concluir que el$Y$, se complementa en $X$?

Edit: no estoy preguntando si $Z$ es un complemento de $Y$$X$. De hecho, $Z$ no necesita ser lineal. Lo que estoy preguntando es si podemos encontrar un conjunto cerrado lineal $W\subset X$ tal que $W$ es un complemento de $Y$$X$.

Answer 1

comentario

Tome $X = \mathbb R^2$ con su favorito de la norma (es decir $l^2$ norma). Deje $Y$ $y$- eje, una cerrada lineal subespacio. Deje $Z$ ser la gráfica de una función continua $h$$h(0)=0$. Decir $h(x) = x^3$. Cada punto de $X$ es únicamente la suma de un punto en la gráfica, además de un punto de $Y$. ASÍ que ... el conjunto de $Z$ no tiene que ser el complemento.

Podemos imitar este uso de $X$ un espacio de Banach y $Y$ no complementa subespacio? Hacer una función $h$ elegir un elemento de cada clase de equivalencia?

agregó
la frase de esta variante de una manera diferente ... Si $T : X \to U$ es un surjective lineal continua mapa de los espacios de Banach, y si hay una sección continua (es decir, una continua $V : U \to X$ $V(T(u))=u$ todos los $u$), entonces deben existir también un continuo lineal de la sección?