La varianza de una función max

Question

Decir $x_1$ $x_2$ son normales variables aleatorias con medios y las desviaciones estándar y $C$ es una constante. Si $y = \max(x_1,x_2,C)$, lo $\mathrm{Var}(y)$?

Bueno, se me olvidaba deciros que $x_1$ $x_2$ son independientes.

Answer 1

Lo que tengo no es bonito, pero aquí va (nota: yo uso $\varphi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$ para denotar el estándar de densidad normal y CDF, resp.):

En primer lugar, vamos a poner todo en términos de la norma normales:

$y_1=\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1},y_2=\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2},C_1=\frac{C-\mu_1}{\sigma_1},C_2=\frac{C-\mu_2}{\sigma_2}$

La primera clave es el dibujo adecuado regiones para la evaluación de la función Max:

Con esto podemos ver que:

$$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[Max\{X_{1},X_{2},C\}] & = & \intop\limits _{-\infty}^{C_{2}}\intop\limits _{-\infty}^{C_{1}}Cd\Phi(y_{1})d\Phi(y_{2})\\ & & +\intop\limits_{C_1}^{\infty} \intop\limits_{-\infty}^{y_1} y_1 d\Phi(y_2)d\Phi(y_1) \\ & & +\intop\limits_{C_2}^{\infty} \intop\limits_{-\infty}^{y_2} y_2 d\Phi(y_1)d\Phi(y_2) \\ \end{eqnarray*}$$

La simplificación de lo que podemos:

$\mathbb{E}[Max\{X_{1},X_{2},C\}] = C\Phi(C_1)\Phi(C_2)+(1-\Phi(C_1))\mathbb{E}[z\Phi(z) | Z>C_1]+(1-\Phi(C_2))\mathbb{E}[z\Phi(z) | Z>C_2]$

($Z$ distribuidas $N(0,1)$)

Del mismo modo, obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[(Max\{X_{1},X_{2},C\})^2] & = & \intop\limits _{-\infty}^{C_{2}}\intop\limits _{-\infty}^{C_{1}}C^2d\Phi(y_{1})d\Phi(y_{2})\\ & & +\intop\limits_{C_1}^{\infty} \intop\limits_{-\infty}^{y_1} y_1^2 d\Phi(y_2)d\Phi(y_1) \\ & & +\intop\limits_{C_2}^{\infty} \intop\limits_{-\infty}^{y_2} y_2^2 d\Phi(y_1)d\Phi(y_2) \\ \end{eqnarray*}$$

Lo que simplifica un poco:

$\mathbb{E}[(Max\{X_{1},X_{2},C\})^2] = C^2\Phi(C_1)\Phi(C_2)+(1-\Phi(C_1))\mathbb{E}[z^2\Phi(z)|Z>C_1]+(1-\Phi(C_2))\mathbb{E}[z^2\Phi(z)|Z>C_2]$

Que es en lo que me he metido.

Answer 2

La solución está lejos de ser trivial, el uso de Arce que obtuve esto:

Answer 3

No sé la real expresión de Var($y$), pero para empezar, $y$ no sigue una distribución normal y su distribución de probabilidad acumulativa $F_Y(x)$ será el producto de las distribuciones acumulativas $F_{X1}(x)$$F_{X2}(x)$, sorprendió a cero para $x<C$.

Para una estimación de Var($y$) que usted puede encontrar esta otra pregunta útil: la Expectativa de que el máximo de variables aleatorias gaussianas