|f| es periódica implícita f es periódica

Question

No puedo pensar en un ejemplo en el que esto no sería.

Tomar 1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1.

Pero también puedo probar que la afirmación se sostiene.

Reclamo: $|f|$ es periódica, a continuación, $f$ es periódica

Prueba:

$|f(x+p)|=|f(x)|$

$f(x+p)=\pm f(x)$ si $f(x+p)=+f(x)$, entonces hemos terminado, si $f(x+p)=-f(x)$ obtenemos:

$f(x+2p)=-f(x+p)=f(x)$, por lo que el período es dos veces más grande, pero todavía tiene que $f$ es periódica.

Donde está mi error?

Answer 1

El error es que estás jugando demasiado duro y rápido con el $\pm$ símbolo.

Hemos concluido correctamente que para cada uno de los $x$ es cierto que $ f(x+p)=\pm f(x)$. O en otras palabras, para cada una de las $x$ $f(x+p)=f(x)$ o $f(x+p)=-f(x)$ mantiene. Pero esto no digo que va a ser el mismo de estos para cada $x$.

Escrito simbólicamente (y sin el $\pm$ símbolo), lo que ha concluido es $$ \forall x \; \exists k\in\{-1,1\} : f(x+p)=k\cdot f(x) $$ pero usted está tratando de utilizarlo como si se tratara de $$ \exists k\in\{-1,1\} \; \forall x : f(x+p)=k\cdot f(x) $$

El $\pm$ símbolo puede ser confuso en este camino porque implica un cuantificador, pero no deja ninguna manera de expresar lo que el alcance de ese cuantificador es. Es mejor evitar cuando usted está tratando de ser riguroso, excepto, quizás, cuando estás muy seguro de que va a ser claro para todos lo que la taquigrafía en realidad significa en cada caso en particular.

Answer 2

Tu error está en la última línea. $|f(x+2p)| = |f(x)|$ $f(x+2p) = \pm f(x)$ . Sin embargo, no se puede garantizar que de aquellos a los que se.