Más Deapth para la Pregunta 1:
Andr e indicó que la idea de multiplicar por dx es "matemáticamente dudosa", y en realidad hay muchas situaciones en las que esta técnica va a meter en problemas si te lo aplicas sin orden ni concierto, sin entender lo que está pasando en el fondo. Para el final de la prestación de dicho fondo voy a ir throug el proceso de solución de su primer ejemplo con el mayor detalle acerca de cada paso como sea posible.
$$
{{1}\over{f(x)}}{{df}\over{dx}} = {{x^3}}
$$
casting a un problema de integración:
$$
\int {{f'(x)} \over {f(x)}}dx = \int {{x^3}} dx
$$
ahora aquí es donde las cosas cambian de simplemente pensar en "multiplicar" por un diferencial. en lugar de usar que (como se ha mencionado antes) problemática a través del proceso vamos a utilizar la integración por sustitución, pero para un caso muy especial.
Lo que este proceso realmente significa geométricamente es el uso de los infinitesimales desglose de las distancias a lo largo de la función de sí mismo como la medida de nuestras calcula el área (en lugar de la distancia a lo largo de la recta real).
Literalmente indica:
$$
du = \lim_{h \to 0} {{f(x)-f(x+h) \over {h}}dx}
$$
que cuando se está conectado a la integral de Riemann se convierte en:
$$
{\int {{f'(x)} \over {f(x)}}dx} = \lim_{max(x_i - x_0) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{f(x_i)-f(x_0)}\over {f(x_i)(x_i-x_0)}}{(x_i - x_0))}
$$
$$
= \lim_{max(x_i - x_0) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{1}\over {f(x_i)}}{(f(x_i)-f(x_0))}
$$
tomando la observación de que nuestro límite puede ser cambiado a:
$$
= \lim_{max(f(x_i) - f(x_0)) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{1}\over {f(x_i)}}{(f(x_i)-f(x_0))}
$$
wihtout alterar el significado (este resultado es realmente no-trivial, pero no voy a entrar en eso aquí) hemos demostrado que las integrales son equivalentes.
Esto luego se traduce en la integral:
$$
\int {{1} \over {f(x)}}df(x) = \int {{x^3}} dx
$$
Como una digresión; a menudo en el cálculo clases que enseñan esta usando una variable como un soporte para su función, tales como la $u = f(x)$, y, a continuación, hacer algo como $du = f'(x)dx$ a facilitar las cosas en su sensibilites para la época (como el uso de una función como una variable, generalmente no es tan fácil de entender, y viene junto con otros temas). En este caso, voy a seguir ambos conceptos a través de así que usted puede ver cómo se conectan.
El subsitution método con $u = f(x)$ $du = f'(x)dx$ podría ser algo como:
$$
\int {{f'(x)dx} \over {u}} = \int {{du} \over {u}} = \int {{x^3}} dx
$$
y a partir de aquí podemos obtener (si puedo combinar las constantes de la simplicidad):
$$
ln(|f(x)|+c = {{x^4} \over {4}}
$$
o con la sustitución:
$$
ln(|u|+c = {{x^4} \over {4}}
$$
donde tenemos que poner la f(x) por u (ya que son iguales) y obtener:
$$
ln(|f(x)|+c = {{x^4} \over {4}}
$$
de cualquier manera.
A partir de aquí es sólo cancelaciones y álgebra hasta llegar a su resultado final.
Hay algunas cosas importantes de la nota aquí de un problema general del tipo:
$$
g(f(x))f'(x) = h(x)
$$
Puesto que la integral es realmente algo de $ \int g(f(x)) df(x)$ si la integral de la función g no existe en la región de la preocupación de la solución no se encuentra el uso de este método. Somtimes simplemente "la cancelación de la" diferenciales, o "multiplicar a través de" esto se vuelve confuso.