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Los métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Se nos da la ecuación $$\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{d\left(f(x)\right)}{dx} = x^3.$$ Para resolverlo, "multiplicar por $dx$" e integrar:
$\frac{x^4}{4} + C = \ln \left( f(x) \right)$ Pero $dx$ no es un número, ¿qué significa cuando me multiplicar por $dx$, lo que estoy haciendo, por qué funciona y cómo puedo solucionarlo sin multiplicar por $dx$?

Segunda pregunta:
Supongamos que tenemos la ecuación de $$\frac{d^2f(x)}{dx^2}=(x^2-1)f(x)$$
Luego de un gran$x$,$\frac{d^2f(x)}{dx^2}\approx x^2f(x)$, con la solución aproximada $ke \cdot \exp \left (\frac{x^2}{2} \right)$
¿Por qué entonces es razonable para sospechar o suponer, que la solución a la ecuación original, será de la forma $f(x)=e^{x^2/2} \cdot g(x)$ donde $g(x)$ tiene una forma más simple, a continuación,$f(x)$? Cuando no trabajo?

Tercera pregunta: El método de reemplazar todas las ocurrencias de $f(x)$, y de sus derivados, por una potencia de la serie, $\sum a_nx^n$, por lo que las ecuaciones del trabajo o llevar a una simplificación de la ecuación? Perdemos ninguna de las soluciones de esta manera?

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Pascal Puntos 322

PRIMERA PREGUNTA

Esto es contestada por estudiar el teorema fundamental del cálculo, que básicamente (en este contexto) dice que si en un intervalo de $(a,b)$

\begin{equation} \frac{dF}{dx} = f \end{equation}

a continuación,

\begin{equation} \int^{b}_{a} f\left(x\right) dx = F(b) - F(a) \end{equation}

donde la integral es el límite de la suma de Riemann. Y a continuación, puede especificar anti-derivados (indefinido integrales) como $F\left(x\right) + c$ a través de la fijación arbitraria $F\left(a\right) = c$ y considerando la función

\begin{equation} F\left(x\right) = \int^{x}_{a} f\left(x\right) dx \end{equation}

donde no se especifique los límites ya que se entiende que existen y son arbitrarios. Es a partir de aquí, en realidad, que tenemos que multiplicar por $dx$ regla. Para,

\begin{equation} F = \int dF \end{equation}

y por lo tanto

\begin{equation} dF = f(x)dx \implies F = \int f(x) dx \end{equation}

Esto es un poco de la mano de la renuncia, y por real pruebas, usted tendría que estudiar las sumas de Riemann.

Ahora, después de esta, para ejemplos específicos tales como el tuyo, supongo que Andre Nicolás respuesta es mejor, pero todavía voy a tratar de ofrecer algo similar.

Podemos decir que deje $g\left(x\right) = \int x^{3} dx$$h\left(x\right) = log\left|f\left(x\right)\right|$. A continuación,

\begin{equation} \frac{dh\left(x\right)}{dx} = \frac{dg\left(x\right)}{dx} \end{equation}

para todos los $x \in \left(a,b\right)$

y, por lo tanto, podemos decir que

\begin{equation} h\left(x\right)= g\left(x\right) + C \end{equation}

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Vilid Puntos 300

Más Deapth para la Pregunta 1:

Andr e indicó que la idea de multiplicar por dx es "matemáticamente dudosa", y en realidad hay muchas situaciones en las que esta técnica va a meter en problemas si te lo aplicas sin orden ni concierto, sin entender lo que está pasando en el fondo. Para el final de la prestación de dicho fondo voy a ir throug el proceso de solución de su primer ejemplo con el mayor detalle acerca de cada paso como sea posible.

$$ {{1}\over{f(x)}}{{df}\over{dx}} = {{x^3}} $$

casting a un problema de integración:

$$ \int {{f'(x)} \over {f(x)}}dx = \int {{x^3}} dx $$

ahora aquí es donde las cosas cambian de simplemente pensar en "multiplicar" por un diferencial. en lugar de usar que (como se ha mencionado antes) problemática a través del proceso vamos a utilizar la integración por sustitución, pero para un caso muy especial.

Lo que este proceso realmente significa geométricamente es el uso de los infinitesimales desglose de las distancias a lo largo de la función de sí mismo como la medida de nuestras calcula el área (en lugar de la distancia a lo largo de la recta real).

Literalmente indica: $$ du = \lim_{h \to 0} {{f(x)-f(x+h) \over {h}}dx} $$

que cuando se está conectado a la integral de Riemann se convierte en: $$ {\int {{f'(x)} \over {f(x)}}dx} = \lim_{max(x_i - x_0) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{f(x_i)-f(x_0)}\over {f(x_i)(x_i-x_0)}}{(x_i - x_0))} $$ $$ = \lim_{max(x_i - x_0) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{1}\over {f(x_i)}}{(f(x_i)-f(x_0))} $$

tomando la observación de que nuestro límite puede ser cambiado a: $$ = \lim_{max(f(x_i) - f(x_0)) \to 0}\sum_{i=1}^{n}{{1}\over {f(x_i)}}{(f(x_i)-f(x_0))} $$ wihtout alterar el significado (este resultado es realmente no-trivial, pero no voy a entrar en eso aquí) hemos demostrado que las integrales son equivalentes. Esto luego se traduce en la integral: $$ \int {{1} \over {f(x)}}df(x) = \int {{x^3}} dx $$

Como una digresión; a menudo en el cálculo clases que enseñan esta usando una variable como un soporte para su función, tales como la $u = f(x)$, y, a continuación, hacer algo como $du = f'(x)dx$ a facilitar las cosas en su sensibilites para la época (como el uso de una función como una variable, generalmente no es tan fácil de entender, y viene junto con otros temas). En este caso, voy a seguir ambos conceptos a través de así que usted puede ver cómo se conectan.

El subsitution método con $u = f(x)$ $du = f'(x)dx$ podría ser algo como:

$$ \int {{f'(x)dx} \over {u}} = \int {{du} \over {u}} = \int {{x^3}} dx $$

y a partir de aquí podemos obtener (si puedo combinar las constantes de la simplicidad): $$ ln(|f(x)|+c = {{x^4} \over {4}} $$ o con la sustitución: $$ ln(|u|+c = {{x^4} \over {4}} $$ donde tenemos que poner la f(x) por u (ya que son iguales) y obtener:

$$ ln(|f(x)|+c = {{x^4} \over {4}} $$

de cualquier manera.

A partir de aquí es sólo cancelaciones y álgebra hasta llegar a su resultado final.

Hay algunas cosas importantes de la nota aquí de un problema general del tipo: $$ g(f(x))f'(x) = h(x) $$

Puesto que la integral es realmente algo de $ \int g(f(x)) df(x)$ si la integral de la función g no existe en la región de la preocupación de la solución no se encuentra el uso de este método. Somtimes simplemente "la cancelación de la" diferenciales, o "multiplicar a través de" esto se vuelve confuso.

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Oli Puntos 89

Primera pregunta: La ecuación diferencial puede escribirse como $$\frac{f'(x)}{f(x)}=x^3.$$ Encontrar antiderivatives de ambos lados. Para calcular el $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$, ten en cuenta que por la Regla de la Cadena, $\frac{f'(x)}{f(x)}$ es el derivado de la $\log|f(x)|$. Llegamos a la conclusión de que $\log|f(x)|+C_1=\frac{x^4}{4}+C_2$ para algunas constantes $C_1$$C_2$, que se pueden combinar en una sola.

No había multiplicación por $dx$. Sin embargo, podemos obtener el mismo resultado como por el ciertamente dudoso procedimiento de multiplicar por $dx$. Así que al menos la dudosa procedimiento es inocuo, se da el resultado correcto. Por lo que puede ser pensado como un recurso mnemotécnico que nos ayuda a llegar a la respuesta correcta.

Comentario: No es más que eso, el proceso de captura de una cierta útil intuición física. Y uno puede incluso hacer que el sentido matemático de desnudos $dx$.

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