¿Es todo número natural puede representarse como \sum\limits_{k=1}^{n $} \pm k ^ 3$?

Question

Una identidad bien conocida es: $$(n+3)^2 - (n+2)^2-(n+1)^2 + n^2 = 4$$

y el uso de esta identidad que demostrar que el conjunto $\displaystyle \{\pm 1^2, \pm 1^2 \pm 2^2,\pm 1^2\pm 2^2\pm 3^2, \cdots\}$ contiene cada número natural mayor o igual a $1$.Pero para establecer este resultado tenemos que verificar la representación de los números $1,2,3,4$ en la forma $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \pm k^2$.

Mi pregunta es ¿podemos decir lo mismo sobre el conjunto de los números $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \pm k^3$, es decir, si cada número natural mayor o igual a $1$ es representable en este formulario.

¿Y el caso general $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \pm k^s$ ?

Este post muestra cómo calcular la constante, $\displaystyle C_s = \sum\limits_{k=1}^{2^s} \pm k^{s} = \large{2^{\frac{s(s-1)}{2}}!}$ donde, los signos $\pm$ son elegidos como se explica aquí.

Answer 1

Usted tendrá que buscar un poco más. Una identidad similar a la que usted cita: $$(n+7) ^ 3-(n + 6) ^ 3-(n + 5) ^ 3 + (n + 4) ^ 3-(n + 3) ^ 3 + (n + 2) ^ 3 + (n + 1) ^ 3-n ^ 3 = 48$ $ significa que sólo tenemos que resolver el problema para $[-23,24] $ y porque el exponente es impar podemos considerar enfrente de signos equivalente. Porque los cubos se espacian más las plazas probablemente tendrá un montón de búsqueda para llenar todo de $ $[1,24]. Por supuesto, $1,7,9,18,20$ cómodamente.

Answer 2

Consideran que esta es una adición a Ross en la respuesta. Encontrado por una secuencia de comandos de Python que corrió mientras yo cenaba.

$1 = 1^3$ (al menos 7 otras maneras)

$2 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3 - 9^3 + 10^3 + 11^3 - 12^3$ (al menos 12 otras formas)

$3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3 + 8^3 - 9^3 + 10^3 - 11^3 - 12^3 + 13^3$ (al menos 6 otras formas)

$4 = -1^3 - 2^3 + 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3$ (al menos 18 otras formas)

$5 = -1^3 + 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 + 7^3 + 8^3 - 9^3$ (al menos 6 otras formas)

$6 = 1^3 - 2^3 + 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3$ (al menos 14 otras formas)

$7 = -1^3 + 2^3$ (al menos 12 otras formas)

$8 = 1^3 + 2^3 - 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3 - 9^3 + 10^3 - 11^3 - 12^3 + 13^3 - 14^3 + 15^3$ (al menos 12 otras formas)

$9 = 1^3 + 2^3$ (al menos 13 otras formas)

$10 = 1^3 + 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 - 7^3 + 8^3 + 9^3 - 10^3 + 11^3 + 12^3 - 13^3 + 14^3 - 15^3$ (al menos 16 otras formas)

$11 = 1^3 + 2^3 - 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 - 7^3 - 8^3 + 9^3$ (al menos otras 5 formas)

$12 = -1^3 - 2^3 - 3^3 - 4^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3 + 8^3 - 9^3 - 10^3 + 11^3$ (al menos 15 otras formas)

$13 = -1^3 + 2^3 + 3^3 - 4^3 - 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3 - 9^3 + 10^3 - 11^3 + 12^3 + 13^3 - 14^3$ (posiblemente de otras maneras)

$14 = 1^3 - 2^3 - 3^3 - 4^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3 + 8^3 - 9^3 - 10^3 + 11^3$ (al menos 9 otras formas)

$15 = -1^3 + 2^3 - 3^3 - 4^3 - 5^3 - 6^3 - 7^3 + 8^3 - 9^3 + 10^3$ (al menos 1 de otra forma)

$16 = 1^3 - 2^3 - 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 - 7^3 - 8^3 + 9^3 - 10^3 + 11^3$ (al menos otras 10 formas)

$17 = 1^3 + 2^3 - 3^3 - 4^3 - 5^3 - 6^3 - 7^3 + 8^3 - 9^3 + 10^3$ (al menos 6 otras formas)

$18 = -1^3 - 2^3 + 3^3$ (al menos 17 otras formas)

$19 = 1^3 - 2^3 - 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 - 7^3 + 8^3 + 9^3 - 10^3$ (al menos 8 otras formas)

$20 = 1^3 - 2^3 + 3^3$ (al menos 19 otras formas)

$21 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 - 6^3 - 7^3 - 8^3 + 9^3 + 10^3 - 11^3 - 12^3 + 13^3$ (al menos otras 5 formas)

$22 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 - 5^3 + 6^3 + 7^3 - 8^3$ (al menos otras 10 formas)

$23 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 - 5^3 - 6^3 + 7^3 + 8^3 - 9^3 + 10^3 - 11^3 - 12^3 + 13^3$ (al menos otras 5 formas)

$24 = 1^3 + 2^3 - 3^3 - 4^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3 + 8^3 + 9^3 + 10^3 - 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 - 15^3 - 16^3$ (al menos 7 otras maneras)

Cada una de estas representaciones es la más corta posible. El algoritmo creado una secuencia de conjuntos de $S_n$ con $S_0 = \{0\}$ y $S_n = \{x+n^3, x-n^3 : x \S_{n-1}\}$ para $n > 0$, de modo que $S_1 = \{1, -1\}$, $S_2 = \{9, -7, 7, -9\}$, etc. El algoritmo también se mantiene un seguimiento de la secuencia de signos que se usan para llegar a cada número en particular.

Answer 3

Para potencias de 5, hay una identidad,

$$ \sum\limits_ {k = 1} ^ {168} \pm (x + k) ^ 5 = 480$ $

análogo a los poderes 3d mencionados por R. Millikan en su respuesta.

Lo que queda demostrado es que todos los N $0\leq < 240$ se puede descomponer en sumas de potencias quinto. Ver este post.

(P.S. el número de sumandos se puede reducir a sólo $m = 168$.)