Definición de seno y coseno

Question

Sabemos que lo siguiente es cierto sobre el seno y el coseno (y que se puede demostrar geométricamente):

• $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
• $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
• $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1$
• $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}x=0$
• Son continuos

Supongamos que tenemos dos funciones reales: $s(x)$ y $c(x)$ . Si sabemos que lo anterior es cierto para $s$ y $c$ (es decir $s(a+b)=s(a)c(b)+s(b)c(a)$ etc.), ¿podemos concluir que $s$ y $c$ son iguales a $\sin$ y $\cos$ respectivamente? En otras palabras, ¿son el seno y el coseno los sólo dos funciones que satisfagan lo anterior? ¿Los cinco puntos anteriores únicamente definir el seno y el coseno?

Estaba pensando en la definición de seno y coseno del círculo unitario, y sabía que hay muchas definiciones no geométricas de ellos. Me preguntaba si los cuatro hechos mostrados anteriormente eran suficientes para contar como una definición no geométrica.

(Sin el tercer punto, cosas como $\sin(x \text{ degrees})$ y $\cos(x \text{ degrees})$ también funcionaría; en otras palabras, el tercer punto especifica que estamos usando radianes).

EDIT: Añadido cuarto punto, ya que $s(x)=e^x\sin(x)$ , $c(x)=e^x\cos(x)$ funcionaría si se omitiera.

Answer 1

Sí, esto define unívocamente las funciones seno y coseno. En concreto, escribamos $$f(x)=\cos(x)+i\sin(x)$$ donde $i$ es la unidad imaginaria. Entonces, las identidades de la suma darán, después de un poco de computación que $f(x)f(y)=f(x+y)$ . Esto es algo tedioso, pero fácil de verificar. Pero, ¡adivina qué! En sólo funciones continuas que pueden satisfacer $f(x)f(y) = f(x+y)$ son funciones exponenciales; para demostrarlo, observe que, para números enteros $n$ es evidente que $f(nx)=f(x)^n$ . Puedes usar esto para demostrar que, sobre los racionales, $f$ es una función exponencial (es decir $f(x)=e^{ax}$ ).*

Puesto que tenemos $\sin(0)=0$ , $\sin'(0)=1$ , $\cos(0)=1$ y $\cos'(0)=0$ esto implica que $f'(0)=i$ . La única función exponencial que cumple esto es $f(x)=e^{ix}$ . Extrayendo las partes real e imaginaria se obtienen, de forma única, el coseno y el seno.

*Si desea ser formal al respecto, sería prudente demostrar que $|f(x)|=e^{\alpha x}$ primero, y luego demostrar que $\arg(f(x))\equiv \beta x$ - puede evitar el problema de $n^{th}$ raíces no únicas en el plano complejo separando su argumento en estas dos secciones.

Answer 2

Si añade las condiciones $\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x) - 1}{x}=0$ y $c(x),s(x)$ son continuamente diferenciables (es decir $c,s \in C^1(\mathbb{R})$ podemos forzar $c(x) = \cos(x)$ y $s(x) = \sin(x)$ .

Escribir $f(x) = c(x)+i s(x)$ las dos primeras relaciones se convierten simplemente en: $f(x+y) = f(x)f(y)$ (comparando las partes reales e imaginarias de ambos lados). En particular, observe que $f(0)=f(0)^2$ Así que $f(0)=0$ ou $f(0)=1$ . Si $f(0)=0$ entonces $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$ Así que $f(x)=0$ idénticamente, contradiciendo $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 0$ . Así que $f(0)=1$ .

Tomando la derivada con respecto a $x$ da $f'(x+y)=f'(x)f(y)$ y así:

$$ f'(y)=f'(0)f(y) $$ Que es una EDO cuya solución viene determinada unívocamente por los valores $f(0), f'(0)$ .

Anteriormente hemos demostrado que $f(0)=1$ .

Y $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{c(x)-1 + is(x)}{x} = i $$

Sabemos (por construcción) que $f(0)$ y $f'(0)$ coinciden con lo que serían si $c(x)=\cos(x)$ y $s(x) = \sin(x)$ y puesto que $f(0$ y $f'(0)$ determinan de forma única $f(x)$ (de la EDO), esto completa la prueba.

Tenga en cuenta que necesitamos saber $\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}$ determinar $f'(0)$ por lo que sin esa condición se obtienen los contraejemplos mencionados en los comentarios.

No estoy seguro de si existen contraejemplos extraños si se omite la condición de diferenciabilidad, pero esa suposición parece natural.