Actualmente estoy intentando aplicar algunos resultados de la teoría de Choquet, es decir, la generalización de los resultados de Minkowski y Krein-Milman para representar puntos de un conjunto compacto y convexo C mediante medidas de probabilidad sobre sus puntos extremos, ext C = { x ∈ C : C - { x } es convexo }.
Mi principal problema es describir explícitamente el conjunto de puntos extremos para un conjunto convexo particular, a saber, el conjunto C de funciones cóncavas sobre el símplex k que desaparecen en los vértices del símplex y tienen sup-norma a lo sumo 1. Me he convencido de que este conjunto de funciones en compacto y convexo y por lo tanto se aplica el teorema de Choquet. Sin embargo, aparte del caso del símplex 1, no consigo decir nada sobre cuáles pueden ser las funciones extremas.
En el caso del 1-simplex, las funciones en ext C son "tiendas" con altura 1, es decir, funciones f que son cero en los límites y suben linealmente hasta un único punto x donde f(x)=1. Sospecho que en el caso del 2-simplex las funciones extremas son también funciones cóncavas lineales a trozos con altura 1. He considerado una serie de candidatos (las funciones formadas por la toma del mínimo de 3 funciones afines, cada una cero en un vértice diferente) pero estoy teniendo problemas para demostrar que los candidatos son realmente extremos.
¿Alguien conoce alguna técnica para identificar los puntos extremos de los conjuntos convexos?
También se agradecerían las indicaciones sobre aplicaciones del teorema de Choquet que construyan explícitamente la extensión C y la medida de probabilidad para un punto dado en C. Mis lecturas en este campo sólo han llegado hasta la monografía de Phelps "Lectures on Choquet Theory" y un artículo de Nina Roy titulado "Extreme Points of Convex Sets in Infinite Dimensional Spaces".
