¿La línea larga es paracompacta?

Question

Un colector suele definirse como un segundo contable hausdorff espacio topológico que es localmente homeomorfo a R n . Entiendo que la razón por la que "segundo contable" es parte de la definición es para asegurarse de que el espacio es paracompacto que se desea para obtener particiones localmente finitas de la unidad. Una vez que se tienen particiones localmente finitas de la unidad, básicamente cualquier cosa que se pueda multiplicar por una función se puede construir localmente (cualquier presheaf que sea un módulo sobre el sheaf de funciones es automáticamente un sheaf), una propiedad que se quiere que tengan los manifolds.

Pero, ¿descartamos innecesariamente algunos espacios topológicos paracompactos que "deberían" ser manifiestos al exigir la segunda contabilidad? Un ejemplo aburrido es la unión disjunta incontable de variedades, pero hay otros espacios más interesantes que parece que deberían ser variedades.

En particular, ¿es el larga cola ¿paracompacto? ¿Debo considerarlo como un colector?

Answer 1

Aquí hay otra prueba, que muestra que cualquier espacio paracompacto localmente euclidiano conectado X es contable en segundo lugar. Cubrir X por cartas euclidianas y tomar un refinamiento localmente finito. Digamos que un conjunto abierto es bueno si sólo interseca finitamente muchos de los gráficos. Ahora tomemos un punto x cualquiera y tomemos una buena vecindad de él. Las cartas que intersectan esa buena vecindad pueden entonces ser cubiertas por un número contable de conjuntos abiertos buenos. Entonces sólo hay un número contable de gráficos que intersectan esos conjuntos abiertos buenos, y esos gráficos pueden ser cubiertos por un número contable de conjuntos buenos. Si se repite esto muchas veces, se obtiene un conjunto abierto U asociado a x que está cubierto por un número incontable de gráficos, de modo que si un gráfico interseca a U, está contenido en U. De ello se deduce que el complemento de U es también una unión de gráficos, de modo que, por conectividad, U es todo X. Por tanto, X puede estar cubierto por un número incontable de gráficos y es de segundo recuento.

Answer 2

Para conectado En los espacios localmente euclidianos, la paracompacidad es equivalente a la segunda contable. Por lo tanto, si realmente insistiéramos en que nuestras variedades sean contables en segundo lugar, lo único que perderíamos serían los coproductos arbitrarios. Sin embargo, no insistimos en eso. Aunque a menudo se indica en la definición al principio de un curso o libro de topología diferencial, en mi experiencia eso se debe simplemente a que es más fácil de explicar que la paracompacidad (yo mismo tiendo a elegir la metricidad). Por supuesto, al principio de un curso probablemente tampoco nos preocupan demasiado los coproductos arbitrarios.

Además, como los colectores se dividen en un coproducto de sus componentes conectados, tendemos a tratar con colectores conectados a menos que realmente no podamos evitarlo. E incluso cuando no son conexos, suelen tener un número contable de componentes. Por lo tanto, en la práctica la distinción no se plantea.

No lo tengo aquí delante, pero creo que un apéndice del primer volumen de la "Introducción a la geometría diferencial" de Spivak contiene una demostración de cuatro condiciones equivalentes para espacios localmente euclidianos (quizás requieran Hausdorff). Si no recuerdo mal, las condiciones son: paracompacto, segundo contable, metrisable y σ-compacto.

Hubo un artículo en el arxiv el lunes, 0910.0885 que enumera 107 condiciones para un conectado espacio Hausdorff localmente euclidiano equivalente a que sea metrizable. Entre ellas están la paracompacidad y la segunda contable.

Answer 3

El Manual de topología teórica de conjuntos es la biblia de este tipo de preguntas. Tiene un capítulo sobre la línea larga y otro sobre cuestiones de paracompacidad de los colectores.

Answer 4

El artículo de la wikipedia afirma que la línea larga no es paracompacta. Aquí hay una prueba de que el rayo largo no es paracompacto (por lo que tampoco lo es la línea larga):

Comienza con la cobertura abierta [0, α) para cada ordinal α < ω ₁ . Sea X un refinamiento de esa cobertura. Sea S el límite de los ordinales por debajo de ω ₁ . S es un subconjunto estacionario de ω ₁ . Para cada β en S, elija un Y _β en X para que β esté en Y _β . Consideremos la función f de S a ω ₁ que envía a β al menor ordinal de Y _β . Para cualquier β en S, f(β) < β ya que β es un ordinal límite. Así que por Lemma de Fodor Hay un subconjunto estacionario de S, llamémoslo S', de modo que f es constante en S'. Sea γ el valor de f en S'. Entonces γ está en Y _β para todo β en S'. Así que el refinamiento no es finito (ni siquiera contable) en γ.

Answer 5

Permítanme dar otra prueba de que la línea larga no es paracompacta. A teorema de Tamano afirma que un espacio completamente regular $X$ es paracompacto si y sólo si $X\times\beta X$ es normal cuando $\beta X$ denota la compactación Stone-Cech de $X$ .

Supongamos que $L$ es la línea larga. Para facilitarnos la vida, vamos a $X=L\cup\{0\}$ sea el conjunto totalmente ordenado con el menor elemento $0$ . Entonces $X$ es un colector con límite $0$ . Entonces $\beta X=X\cup\{\infty\}$ donde $\infty\not\in X$ y $X\cup\{\infty\}$ se le da la topología de compactación de un punto.

Entonces $X\times\beta X=X\times(X\cup\{\infty\})$ . Dejemos que $C=\{(x,x)|x\in X\}$ y que $D=\{(x,\infty)|x\in X\}$ . Entonces, por una fácil aplicación del lema de Fodor, se puede demostrar que si $U,V$ son conjuntos abiertos con $C\subseteq U,D\subseteq V$ entonces $U\cap V\neq\emptyset$ . Por lo tanto, $X\times\beta X$ no es normal, por lo que $X$ no es paracompacto.

Antes de irme, debo mencionar que el resultado y su prueba que afirman que toda variedad conectada paracompacta es contable en segundo lugar se deriva del hecho más general de que un espacio localmente compacto es paracompacto si y sólo si es la unión disjunta de espacios abiertos $\sigma$ -conjuntos compactos. En particular, todo espacio conexo localmente compacto es paracompacto si y sólo si es $\sigma$ -compacto.