de seguimiento , el determinante y cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas(NBHM-$2014$)

Question

Deje $A \in M_2(\mathbb R)$ ser una matriz que no es una matriz diagonal . Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas??

una. Si $tr(A)=-1$$detA=1$,$A^3=I$.

b. Si $A^3=I$,$tr(A)=-1$$det(A)=1$.

c. Si $A^3=I$, $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$.

Para (un), es claro que $A$ va a satisfacer $\lambda^2+\lambda+1=0$ dar $A^2+A+I=0$. Multiplicando $A$ a través de da $A^3+A^2+A=0\implies A^3=-A^2-A=I$

Para (b), las posibilidades de eigen valores de $1, \omega, \omega^2$. Ahora bien, si los eigen valores sólo se $1$ $1$ $A$ va a satisfacer $(\lambda-1)^2=0$. Ya sabemos que $A^3=I$. A partir de estos dos hechos no es difícil ver que $A=kI$. Por lo tanto el único posible eigen valores pueden ser $\omega, \omega^2$. Por lo tanto (b) es verdadera.

Para(c), $A$ definitivamente es diagonalizable sobre $\mathbb C$. ¿Hay alguna condición que obligaría a una matriz sea diagonalizable sobre $\mathbb R$ cuando ya es diagonalizable sobre $\mathbb C$?

Answer 1

Para (c), considere la posibilidad de una rotación por $2\pi/3.$ claramente, Este no es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ (para una cosa, los valores no son reales).

Answer 2

Sugerencia para $(a)$ deje $\lambda_1+\lambda_2=-1,\lambda_1\lambda_2=1\Rightarrow\lambda_1-\lambda_2=\pm\sqrt{3}i$

para $(b)$ minpoly debe dividir $x^3-1$, por lo que minpoly puede ser $(x-1)$ o $x^2+x+1$, pero a medida que la matriz no diagonal, a continuación, minpoly es $x^2+x+1=0$.

las raíces de minpoly son eigen valores que se $\omega,\omega^2$

así que traza $\omega+\omega^2=-1$ $\det A=\omega\times\omega^2=1$

por lo $b$ es correcto

para $(c)$ ver el $(b)$ y la conclusión de por qué no diagonalizable más reales ;)