Mostrar que la serie $\sum\left(\exp\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)-1\right)$converge, pero no absolutamente.

Question

Demostrar que la serie converge, pero no absolutamente. $\sum_{n=1}^{\infty}( $exp$(\frac{(-1)^n}{n})-1)$.

Yo:

Deje $a_n=$exp$(\frac{(-1)^n}{n})-1$. Yo iba a usar la alternancia de serie de la prueba, porque la secuencia de $\{a_n\}$ es alterna. Pero $\{|a_n|\}$ no está disminuyendo a $0$. Por lo tanto, estoy atascado ahora. Puede alguien por favor me das una pista?

Answer 1

Usted sólo puede usar el hecho de que, como $x \to 0$, mediante la expansión de Taylor, $$ e^x=1+x+O(x^2) $$ giving, for some $n_0\geq1$, $$ \sum_{n\geq n_0}\left(\exp \left(\frac{(-1)^n}{n}\right)-1\right)=\sum_{n\geq n_0}\frac{(-1)^n}{n}+\sum_{n\geq n_0}O\left(\frac1{n^2}\right). $$ The latter series is absolutely convergent and the series $\displaystyle \sum_{n\geq n_0}\frac{(-1)^n}{n}$ es condicionalmente convergente. Se da el resultado deseado.

Answer 2

PARTE 1: ESTABLECER LA CONVERGENCIA

Del Valor medio Teorema tenemos

$$e^{(-1)^n/n}-1=\frac{(-1)^n}{n}+e^{\xi_n}\frac{1}{n^2}$$

para $0<|\xi_n|<\frac{1}{n}$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{(-1)^n/n}-1\right)&=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+e^{\xi_n}\frac{1}{n^2}\right) \tag 1 \end{align}$$

recordemos que la serie armónica alternante $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\log 2$ converge. Y nos cuenta que desde $|e^{\xi_n}|<e$$0<|\xi_n|<\frac{1}{n}$, entonces la serie

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}e^{\xi_n}\frac{1}{n^2} &\le e\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\\\ &=\frac{\pi^2\,e}{6} \end{align}$$

también converge. Finalmente, ya que la suma de dos convergente la serie es convergente la serie, la serie sobre el lado izquierdo de $(1)$ converge.

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PARTE 2: MUESTRA LA CONVERGENCIA CONDICIONAL

Ahora, podemos observar que la serie de valores absolutos es delimitada por debajo de como

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\left|e^{(-1)^n/n}-1\right|&=\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n}+e^{\xi_n}\frac{1}{n^2}\right|\\\\ &\ge \frac12\,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{align}$$

que diverge desde que la serie armónica diverge. Por lo tanto, la serie de interés no es absolutamente convergente, sólo condicionalmente convergente.