Oscilante de la integral converge a cero?

Question

Integral, como, por ejemplo, $$\int_0^1 \cos[ nf(x)]~dx$$ con alguna función $f$ que se porta bien, y tal vez casi en todas partes de cero, debe ser muy pequeña para un gran $n$ desde el positivo y negativo de las contribuciones a su alrededor se cancelan uno al otro siempre que la frecuencia de oscilación es lo suficientemente alto.

Es allí una manera de formalizar esto?

Para $f(x)=x$, uno podría calcular $$\int_0^1 \cos nx ~dx=\int_0^1 \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin nx}{n}\right) dx=\frac{\sin n}{n}$$ but how could one argue when there is no expression for the antiderivative available? For certain cases a substitution $y=f(x)$ and some integration by parts might help, but it seems that the restrictions on $f$ impuestas por que son más fuertes de lo necesario.

Answer 1

Si asumimos que el $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ tiene un continuo y positivo derivado de su función inversa $g(x)$ es un aumento de la $C^1$ función de y: $$ c_n = \int_{0}^{1}\cos(nf(x))\,dx = \int_{f(0)}^{f(1)} g'(y) \cos(ny)\,dx $$ converge a cero, como se $n\to +\infty$ por la de Riemann-Lebesgue lema (series versión), ya que $g'(y)$, como un continuo (o positivo) derivado, es obviamente una función integrable sobre $(f(0),f(1))$, y su integral es igual a uno. Si sabemos algo más acerca de la regularidad de $g(x)$ ($g\in C^2,C^3$, $C^\infty$ o $C^\omega$) y el tamaño de $f(1)-f(0)$ también podemos calcular cómo de rápido se $c_n$ converge a cero mediante integración por partes.

Me temo que no se puede quitar la hipótesis sobre la monotonía de $f(x)$, ya que las siguientes pesadilla se tiene: hay algunas funciones diferenciables en $(a,b)$ cuya derivada no es Riemann-integrable.

Sin embargo, el argumento anterior debería ser suficiente para aplicaciones concretas. Por ejemplo, $\int_{0}^{1}\cos(ne^x)\,dx$ se comporta como $\frac{\pi}{2n}$ (a pesar de algunos de aspecto extraño oscilaciones), mientras que $\int_{0}^{1}\cos(n\log x)\,dx $ es muy regular, es exactamente igual a $\frac{1}{1+n^2}$. Por otro lado, $\int_{0}^{1}\cos(n\sin(\pi x))\,dx = J_0(n)$ decae como $\frac{1}{\sqrt{n}}$.