Mapa de la constante de rango 1

Question

Un amigo me hizo una pregunta que parece ser fácilmente implícita en la forma normal de constante rango de mapas, pero puede no ser tan obvio.

Deje $f$ ser suave, un mapa de $\mathbb{R}^2$ a sí mismo, de constante rango de $1$, lo que equivale a la identidad en $\{0\} \times \mathbb{R}$. Mostrar que la imagen de $f$ está contenido en $\{0\} \times \mathbb{R}$.

Gracias.

Edit : Esto es falso, un contra-ejemplo es la siguiente.

Answer 1

Esto es falso ; otro amigo ha encontrado un buen contra-ejemplo. La idea es la siguiente: considere los dos siguientes curvas, $C_1$ el eje vertical y $C_2$ tus favoritos curva que coincide con $C_1$ negativos $y$ pero luego se escapa el eje vertical, por ejemplo, para $C_2$ el conjunto de $(0,y)$ $y \leq 0$ unión el conjunto de $(e^{-1/y^2},y)$ positivos $y$.

Vamos a construir una función $f$ que satisface las hipótesis del ejercicio, pero cuya imagen es la unión de $C_1$$C_2$. Para entender cómo esto es posible, creo que es el conjuntos de $\Gamma_x = f(\{x\} \times \mathbb{R})$. A continuación, $\Gamma_x$ $C_1$ $x < 2$, $C_2$ para $x > 3$ y el semi-eje $\{(0,y), y < 0\}$$x$$2$$3$.

El camino de la "interpolación" estas curvas es muy agradable. Deje $g_1$ $g_2$ estándar paramatrizations de $C_1$ y $C_2$: $g_1(y) = (0,y)$ y $g_2(y) = (0,y)$ negativos $y$ $(e^{-1/y^2},y)$ positivos $y$. Considere la posibilidad de $\lambda(x)$ estrictamente creciente función suave de $\mathbb{R}$ a sí mismo, que tiende a $0$$+\infty$$-\infty$$-\infty$. Por último consideramos la $\mu(z)$ una función suave de $\mathbb{R}$ a sí mismo que es igual a $1$ $z \leq 1$ o $z \geq 4$,$0$$z$$2$$3$, y que se entre $0$$1$.

Definir $w(x,y)$ como el baricentro en $\mathbb{R}$ $y$ $\lambda(y)$ para el coeficiente de $\mu(x)$$w(x,y) = \mu(x)y + (1-\mu(x))\lambda(y)$. Por construcción, en $y$ fijo, $w(x,y)$ $y$ $x\leq 1$, $\lambda(y)$ para $x$ $2$ $3$ y se envía de nuevo a$y$$x \geq 4$. En particular, para cualquier $y$, $w(x,y)$ es negativo para$x$$2$$3$.

Ahora considere la función $f(x,y) = g_1(w(x,y))$$x \leq 3$$f(x,y) = g_2(w(x,y))$$x \geq 2$. Esto está bien definido desde $g_1$ $g_2$ coinciden por un argumento negativo. Por construcción, $f$ es suave, y tiene las propiedades mencionadas en el segundo párrafo. Sólo tenemos que mostrar que $f$ es de constante rango de $1$. Claramente, no puede ser de rango $2$ desde que factorizes a través del mapa de $w$ $1$- dimensiones de la imagen. Por otra parte, $g_1$ $g_2$ son inmersiones y $w$ es una inmersión (aquí usamos ese $\lambda$ es estrictamente creciente), de modo que por la composición, el diferencial de $f$ no puede desaparecer.

Esto concluye la prueba. Os animo a hacer una foto; esto es muy bonito.