El mes pasado, leí una prueba de $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ que utilizó la siguiente integral: $$ \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)} \, dx \, dy$$ Estaba en el número de agosto-septiembre de la revista American Mathematical Monthly. De todos modos, pude seguir la mayoría de ella hasta el último paso donde cambia la integral y la suma.
$$\int_0^1 \frac{\ln x}{x^2-1} dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 -x^{2n} \ln x\,dx$$
Creo entender cómo la convergencia uniforme de una serie puede permitirte cambiar sumas infinitas y signos de integral. Pero por lo que puedo ver, $\sum_{n=1}^\infty -x^{2n} \ln x$ no converge uniformemente en $[0,1]$. ¿Puede converger uniformemente en $[0,k]$ si $k \in (0,1)$? ¿Es eso suficiente para justificar el cambio?
Alternativamente, las sumas parciales son estrictamente crecientes y acotadas. ¿Pero cómo se prueba que convergen a la integral del lado izquierdo?
Editar:
¿Hay un teorema que dice: si $f_n \to f$ puntualmente en $[a,b]$ y $f_n$ está uniformemente acotado, entonces $\int_a^b f_n(x) \, dx \to \int_a^b f(x) \, dx$? ¿Es la siguiente una prueba adecuada? Estoy tratando de evitar el uso de Integrales de Lebesgue ya que no las he estudiado.
Supongamos que $\displaystyle \left| \int_0^1 f(x)\,dx - \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx \right| = \epsilon>0$.
Dado que $\displaystyle \int_0^k f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^k f_n(x)\,dx$ por convergencia uniforme en $[0,k]$. Queda por mostrar que si $k$ se elige adecuadamente, entonces $\displaystyle \left| \int_k^1 f(x)\,dx-\lim_{n\to\infty} \int_k^1 f_n(x)\,dx \right| < \epsilon$, una contradicción. $f_n$ estar uniformemente acotado implica
$$ \left| \int_k^1 f(x)\,dx - \lim_{n\to\infty} \int_k^1 f_n(x)\,dx \right| < (1-k)M$$
Entonces, elige $1-\frac{\epsilon}{M}
