Bases integrales para campos cúbicos

Question

Estoy intentando seguir un texto (Lang's Teoría algebraica de números ) en la que determina completamente una base integral para campos cuadráticos (también visto aquí ). ¿Existe alguna forma fácil o análoga de determinar uno para campos cúbicos de la forma $\mathbb Q(\sqrt[3]{a})$ donde $a\in\mathbb Z$ ?

¿Se puede concluir también (o estipular varias restricciones al respecto) que $\mathcal O_K$ ¿es un PID?

Answer 1

Base integral para ${\bf Q}(\root3\of a)$ se da en el Teorema 7.3.2 de Alaca y Williams, Introductory Algebraic Number Theory:

Sea $m$ sea un entero sin cubo. Establece $m=hk^2$ donde $h$ es libre de cuadrados, por lo que $k$ es libre de cuadrados y $(h,k)=1$ . Establecer $\theta=m^{1/3}$ y $K={\bf Q}(\theta)$ . Entonces una base integral para $K$ es $$\eqalign{&\{{1,\theta,\theta^2/k\}},{\rm\ if\ }m^2\not\equiv1\pmod9,\cr&\{{1,\theta,(k^2\pm k^2\theta+\theta^2)/3k\}},{\rm\ if\ }m\equiv\pm1\pmod9.\cr}$$

Answer 2

Puedes encontrar una prueba "elemental" en el ejemplo 4.3.6 de Murty y Esmonde, Problems in Algebraic Number Theory, aquí .