Suma de la suma de la suma de los primeros números naturales de $n$

Question

He aquí otro problema de la mía, que yo no pude resolver.

Dado que: $$x_n = 1 + 2 + \dots + n \\ y_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n \\ z_n = y_1 + y_2 + \dots + y_n $$

Encontrar $z_{20}$.

Yo sé la respuesta, pero estoy teniendo un tiempo difícil de llegar a ella. Me di cuenta de que $x_n$ es, obviamente, $\dfrac{n(n + 1)}{2}$, pero, ¿cómo expresar los otros dos en forma cerrada para permitir el cálculo? Incluso traté de escribir las relaciones de una manera recursiva, sin éxito. Hay una manera fácil de resolver esto? Yo no estaba permitido el uso de calculadoras.

Gracias,
rubik

Answer 1

Hay una manera muy fácil si usted sabe algunos datos básicos acerca de los coeficientes binomiales. Usted tiene $x_n=\binom{n+1}2$, por lo que

$$y_n=\sum_{k=1}^nx_k=\sum_{k=1}^n\binom{k+1}2=\binom{n+2}3$$

y

$$z_n=\sum_{k=1}^ny_n=\sum_{k=1}^n\binom{k+2}3=\binom{n+3}4\;,$$

y $$z_{20}=\binom{23}4=\frac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{4\cdot3\cdot2}=23\cdot11\cdot7\cdot5=253\cdot7\cdot5=1771\cdot5=8855$$

(donde la media aritmética fue hecha en mi cabeza mientras yo estaba escribiendo).

Sin ese conocimiento (o algo comparable, como las fórmulas para las sumas de cuadrados consecutivos y cubos) parece ser bastante difícil problema. La identidad específica que estoy usando es

$$\sum_{k=m}^n\binom{k}m=\binom{n+1}{m+1}\;.$$

Answer 2

Usando el cálculo finito, es un análogo de la repetida integral de un polinomio:

$$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{i}{\sum_{k=1}^{j}{k}}}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{i}{\frac{1}{2}j^{\underline{2}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{6}{i^{\underline{3}}}=\frac{1}{24}n^{\underline{4}}=\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)$$ It's actually that short.

Answer 3

Aquí es un poco más largo que el método de Brian M. Scott, apoyándose en el conocimiento de formas cerradas para $n$, $n^{2}$ y $n^{3}$.

Usted tiene que: $$x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}$n$

Por lo tanto: $$\begin{align}y_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{2}i^{2}+\frac{1}{2}i\right)}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}i^{2}+\sum_{i=1}^{n}{i}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}n^{3}+n^{2}+\frac{2}{3}n\right) \end{align}$$

Por lo tanto:

$$\begin{align}z_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{6}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{3}n\right)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{n}n^{3}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}n^{2}+\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}{n} \ \ & = \frac{1}{6}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{3}\cdot\frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{align}$$

Answer 4

Como alguien que por lo general no recuerda las fórmulas para las sumas de los coeficientes binomiales (aunque la suma es simple para que el aviso dado triángulo de Pascal), la presencia de las sumas parciales en el problema sugiere el uso de las funciones de generación.

Tenga en cuenta que si tenemos una función

$$f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+...+c_n x^n+... ,$$

luego multiplicando por $\frac{1}{1-x}$ se obtiene una nueva serie donde los coeficientes son las sumas parciales de la $c_n$s'.

$$\frac{f(x)}{1-x} = f(x) \cdot (1 + x + x^2 + ...) = c_0 + (c_0+c_1)x + ... + \sum_{i=0}^n c_i x^n + ...$$

Gracias a esto, podemos construir un par de funciones para encontrar el valor deseado (cuidado aquí, hemos cambiado de 0-indexación a 1-indexación):

\begin{align} f_1(x) = (1-x)^{-1} &= 1+x+x^2+...\\ f_2(x) = (1-x)^{-2} y= 1+2x+3x^2+...\\ f_3(x) = (1-x)^{-3} &= x_1+x_2 x+x_3x^2+...\\ f_4(x) = (1-x)^{-4} &= y_1+y_2 x+y_3x^2+...\\ f_5(x) = (1-x)^{-5} &= z_1+z_2 x+z_3x^2+... \end{align}

Tenga en cuenta que $\frac{d}{dx} f_n(x) = n f_{n+1}(x)$. En particular, esto nos da que:

$$x_n = \frac{1}{2} n(n+1)$$ $$y_n = \frac{1}{3} n \cdot x_{n+1} = \frac{1}{6} n(n+1)(n+2)$$ $$z_n = \frac{1}{4} n \cdot y_{n+1} = \frac{1}{24} n(n+1)(n+2)(n+3)$$

a partir de los cuales $z_{20}$ puede ser fácilmente calculada.

Answer 5

Es fácil ver por inducción que $$\sum_{k=1}^{n}k\cdot(k+1)\cdot\ldots\cdot(k+l)=\frac{n\cdot(n+1)\cdot\ldots\cdot(n+l+1)} {l + 2} $$ $ todos \ $ l\geq 0. Por lo tanto usando esta identidad para $\ l = 0, 1, 2\ $gives la buscada fórmula cerrada.