Me pregunto qué holomorphic característica de Euler $\chi(\mathcal{O}_X)$ de una variedad representa. Por ejemplo, he visto que alguien se fije $\chi(\mathcal{O}_C)=n$ para una curva compleja $C$. ¿Qué significa esto geométricamente? Recuerde que $\chi(\mathcal{O}_X)$ se define como la alternancia de suma $$ \chi(\mathcal{S}_X)=\sum_{i=0}^{\dim X}(-1)^i\dim \mathrm{H}^i(X,\mathcal{S}_X). $$
Respuesta
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Si usted tiene alguna gavilla $\mathcal F$ (si es localmente libre, es esencialmente el mismo que hablar de vector de paquetes), luego de una muy importante invariante que sería la dimensión de global independiente de las secciones, $h^0(X,\mathcal F):=\dim \Gamma (X,\mathcal F)$, pero resulta que se necesita cohomological correcciones a ser así. Ahora que es una cifra difícil de calcular ya que tomando global secciones de una secuencia exacta de las poleas no es en general una secuencia exacta de la sección global de los espacios, por ejemplo: $$0\rightarrow \mathcal F\rightarrow \mathcal G\rightarrow \mathcal H\rightarrow 0,\;\; \text{but} \\ 0\rightarrow \Gamma(X,\mathcal F)\rightarrow \Gamma(X,\mathcal G)\rightarrow \Gamma(X,\mathcal H).$$ Este es el comienzo de la gavilla cohomology (que puede ser construido a través de derivados functors y generalmente se calcula a través de Čech cohomology): la inexactitud de la sección global de la secuencia se mide por los nuevos grupos de $H^i(X,\mathcal F)$ donde $H^0(X,\mathcal F):=\Gamma (X,\mathcal F)$: $$0\rightarrow H^0(\mathcal F)\rightarrow H^0(\mathcal G)\rightarrow H^0(\mathcal H)\rightarrow H^1(\mathcal F)\rightarrow H^1(\mathcal G)\rightarrow H^1(\mathcal H)\rightarrow H^2(\mathcal F)\rightarrow \cdots\rightarrow 0$$ Por lo tanto, aunque usted no puede ser capaz de calcular $\dim H^0(X,\mathcal F)=:h^0(X,\mathcal F)$, hay muchas técnicas importantes y teoremas para calcular su Euler-Poincaré característica $$\chi(\mathcal F):=\sum_{i=0}^{\dim X}(-1)^i\cdot \dim H^i(X,\mathcal F),$$ because $\chi$ is additive on exact sequences, i.e. $\chi (\mathcal G)=\chi (\mathcal F)+\chi (\mathcal H)$. For example one can prove Bézout's theorem using two appropriate exact sequences and this previous equations, since the $H^i(\mathbb P^2,\mathcal O_{\mathbb P^2}(d))$ can be computed explicitly. The major theorem for computing $\chi$ en general es el Hirzebruch-Riemann-Roch teorema con sus muchas aplicaciones relacionadas con los grados de la variedad y de sus divisores.
Así que usted puede pensar de $\chi(\mathcal F)$ como el número de secciones independientes de la gavilla $\mathcal F$ modulo cohomological corrección de términos (y es este número, que es un invariante y no sólo a $h^0$). Todo el tema de la desaparición de los teoremas de resultados de estudios que dan las condiciones cuando ciertos $H^i(X,\mathcal F)=0$$i\geq 1$, por lo que su $\chi$ es tan cerca como sea posible a su dimensión (por ejemplo, que es la razón por la definición de la alternancia suma es finita, para acabar, al menos en $\dim X$). Ahora, $\mathcal O_X$ es la estructura de la gavilla de la variedad, es decir, la recogida de regular la función de los anillos para cada subconjunto abierto de $X$ con su habitual restricción para abrir subconjuntos. Por lo tanto, $\chi (\mathcal O_X)$ medidas, hasta cohomological correcciones, el número de independientes global regular/holomorphic funciones en su variedad $X$, que es muy importante invariante. Por ejemplo, el número de independientes de formas diferenciales de orden superior, $p_g(X):=\dim H^0(X,\omega_X)$, es llamado el geométrica género de $X$ ($\omega_X$ es una línea de paquete en este caso). Es un notable teorema que para el complejo de curvas algebraicas proyectivas (equivalentemente, compacto superficies de Riemann o cerrado orientable superficies reales) este geométrica de género coincide con el topológica de género $g=p_g$, el número de "dona agujeros" la superficie real de la curva compleja. Hay otro número llamado la aritmética de género $p_a$, que se define a través de Hilbert polinomios, que coincide también para el caso de curvas de $g=p_g=p_a$. Tales resultados y conceptos que aparecen en la Riemann-Roch teorema que da el valor de $\chi (\mathcal L)$ para una línea de paquete en una curva de $X$ en términos de géneros $g$ y el grado de asociado divisor $\deg [\mathcal L]$. Además, se hace uso de una dualidad por el teorema de Serre , de modo que uno puede expresar $H^{n-k}(X,\mathcal L)$ en términos de $H^k(X,\omega_X\otimes\mathcal L^\vee)$, y en este caso de las curvas de poner $\chi (\mathcal L)$ sólo en términos de las dimensiones de la global secciones! $$\chi (\mathcal L)=\dim H^0(X,\mathcal L)-\dim H^0(X,\omega_X\otimes\mathcal L^\vee)=\deg [\mathcal L]+1-g.$$ Si en lugar de una dimensiones de las poleas (línea de paquetes) $\mathcal L$, podemos escribir el teorema en términos de los divisores asociados a la cero locus de un genérico de sus secciones, $D=[\mathcal L]$, el resultado es: $$\chi (D)=h^0(D)-h^0(K-D)=\deg D+1-g.$$ Desde $H^0(X,\cdot)=\Gamma (X,\cdot)$ mide el número de secciones independientes, este Riemann-Roch teorema dice lo siguiente: el número de independientes racional/meromorphic funciones con los ceros y los polos, y delimitado por el divisor $D$, menos el correspondiente número, pero para el divisor $K-D$ (donde $K$ es un divisor canónico, es decir, el genérico cero locus de un diferencial de 1-forma de la curva) es el grado del divisor $D$, más uno, menos el (geométrica = topológico = aritmética) género de la compleja curva algebraica. Así que en este caso, si usted fix $\chi_C (\mathcal L)=n$ para una curva de $C$, se están considerando los conjuntos de puntos de ceros y polos, es decir, divisores $D=[\mathcal L]$ dado por racional secciones de $\mathcal L$, con un total fija de grado $\deg D=(g_C-1)+n$. Observe que en topología algebraica, su curva compleja $C$ visto como un cerrado orientado a la superficie para cualquier triangulación de $V$ no. de los vértices, $E$ no. de los bordes y a $F$ no. de las caras de la correspondiente topológico características: $$\chi_{\text{top.}}(C)=V-E+F=-2(g-1)=-\deg K,$$ cual es el grado de un genérico canónica divisor a $C$; $g-1$ aparece también en muchas otras aplicaciones, como el de Gauss-Bonnet teorema. Estos son los resultados notables con consecuencias muy importantes.
Su generalización a dimensiones superiores variedades es la piedra angular Hirzebruch-Riemann-Roch teorema que computa $\chi_X (\mathcal F)$ en términos de números de intersección de la característica de las clases de $\mathcal F$$X$. Su generalización a compacto colectores en general (incluso nonalgebraic o con límite) es el muy famoso de Atiyah-Singer índice teorema, a partir de la cual Hirzebruch-Riemann-Roch se puede obtener por la Dolbeault complejo de holomorphic operadores diferenciales. He explican brevemente un poco más acerca de este teorema en esta otra respuesta, donde el foco está en el cómputo de la característica de Euler de una secuencia de elíptica pseudodifferential operadores, es decir, el número de soluciones independientes para homogéneo de ecuaciones diferenciales parciales hasta cohomological correcciones, en compacto de colectores en términos de sus puramente topológico de datos.
