Hice un poco de trabajo para encontrar una operación de grupo abeliano para el conjunto de puntos de la elipse $\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$ dado por $(p,q)*(r,s)=\frac{1}{a}(pr-\frac{a^2}{b^2}qs,ps+qr)$ . He comprobado la asociatividad, la identidad es $(a,0)$ y la inversa de $(p,q)$ es $(p,-q)$ .
¿Cuáles son algunas propiedades de este grupo que vale la pena explorar, algunos buenos problemas para alguien con experiencia en álgebra básica?
Este es el grupo del círculo para todo opciones no nulas de $a,b$ . El mapa $$(x,y)\mapsto(\frac{x}{a}, \frac{y}{b})$$ es un isomorfismo al grupo del círculo. Este grupo aparece de forma natural si se quiere ver el efecto de una cámara girada en una imagen si la cámara tiene diferentes resoluciones en las direcciones horizontal y vertical.
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