Como en el título, me preguntaba si es necesariamente cierto que el dominio de una función es compartida por sus derivados.
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wajiw
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Elio JOSEPH
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ciberandy
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Sí o no, dependiendo de cómo se lo mire.
El enfoque habitual en matemáticas es decir que si $E$ es un subconjunto de la recta real $\mathbb R$, entonces el dominio de una función $f\colon E\to \mathbb R$ es el conjunto $E$. Entonces la derivada de $f$ sólo está definida si $f$ es diferenciable en cada punto en $E$. En ese caso, podemos definir la derivada $f'\colon E\to\mathbb R$. Es evidente que el dominio de $f'$ $E$ también.
Hay funciones de $f\colon E\to \mathbb R$ que no son diferenciables en cada punto en $E$ - la función de $f(x)=|x|$ es un ejemplo. Técnicamente, esta función no tiene derivada, por lo que no tiene sentido hablar sobre el dominio de sus derivados.
La definición de dominio utilizado en las escuelas es diferente y un poco menos precisa. Normalmente, tenemos algunas fórmula y nos dicen que su dominio es el mayor conjunto de números reales tales que esta fórmula tiene sentido, de acuerdo a una serie de normas (por ejemplo, $1/x$ no tiene sentido si $x=0$, $\sqrt x$ no tiene sentido si $x<0$ y así sucesivamente). De acuerdo a esta definición de dominio, el $f(x)=\sqrt x$ ejemplo dado por E. José es un buen ejemplo de una función cuya derivada tiene un menor dominio que el de la función original.
No sé si $f(x)=|x|$ cuenta como un ejemplo, ya que su derivada no es dado por una explícita fórmula obtenida mediante la aplicación de las reglas para la diferenciación.
Steven Lu
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Una forma más extrema ejemplo: la función de Weierstrass $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)$$ ($0<a<1$, $b$ positivo entero impar, $ab > 1 + 3\pi/2$)
ha $$\text{dom}(f) = \Bbb R,\qquad\text{dom}(f') = \emptyset.$$
