La topología algebraica es, en términos generales, el estudio de functores (y transformaciones naturales entre ellos) de la categoría de espacios topológicos (o categorías relacionadas como su categoría de homotopía) a una categoría "algebraica". Cuando se adopta este punto de vista, se obtiene una perspectiva mucho mejor de los métodos y del "panorama general" de la topología algebraica.
He aquí un ejemplo bonito pero fácil: para $R$ un anillo conmutativo topológico, la asignación del $R$ -de la continua $R$ -sobre un espacio topológico es un functor (contravariante) de espacios topológicos a $R$ -algebras. De hecho, cuando el anillo objetivo son los números complejos, este functor induce una equivalencia adyacente de categorías entre espacios compactos de Hausdorff y (lo contrario de) la categoría de álgebras conmutativas de C*. Esto se llama La dualidad de Gelfand .
Hay muchos otros funtores interesantes a categorías algebraicas. Por ejemplo, el anillo de cohomología singular proporciona un funtor de espacios topológicos a anillos. El funtor de complejo de cadena singular es un funtor a complejos de cadena de grupos abelianos. El grupo fundamental es un funtor de espacios topológicos a grupos.
Ya que mencioné que las transformaciones naturales entre funtores también son de interés en la topología algebraica, he aquí un ejemplo clave: las clases características. Sea $\mathsf{hoTop}$ denotan la categoría de espacios topológicos con mapas continuos modulo equivalencia de homotopía como las flechas. Dado que los pullbacks de los principales $G$ -por mapas homotópicos son isomorfos (al menos cuando restringimos $\mathsf{Top}$ para ser la categoría de "espacios agradables", como los complejos CW y las variedades), entonces tenemos un functor (contravariante): $$B_G: \mathsf{hoTop}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Sets}$$ que asigna a cada espacio $X$ el conjunto de clases de isomorfismo del principal $G$ -bundles over $X$ . Ahora, dado algún functor de cohomología $H$ lo componemos con un functor olvidadizo de grupos abelianos (o anillos o lo que sea) a $\mathsf{Sets}$ . Entonces podemos pensar en $H$ como un functor (contravariante) $$H: \mathsf{hoTop}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Sets}.$$ Como estos dos funtores tienen el mismo origen y destino, podemos hablar de transformaciones naturales entre ellos. De hecho, las transformaciones naturales $c: B_G \Rightarrow H$ son precisamente clases características ¡!
Por último, he aquí una respuesta "estúpida pero correcta" a tu pregunta: elige cualquier tipo de categoría de objetos algebraicos, tan salvaje como quieras, y llamémosla $\mathsf{A}$ . Ahora elige tu objeto algebraico favorito $A$ en esta categoría. Ahora construyamos un functor $F: \mathsf{Top} \to \mathsf{A}$ que mapea cada espacio topológico $X$ al objeto algebraico $A$ y toma cada mapa continuo $f: X \to Y$ al mapa de identidad $\mathrm{id}_A: A \to A$ en $A$ . Entonces se trata de una construcción perfectamente razonable (pero bastante inútil) en topología algebraica.
