(Al parecer) problema de trigonometría simple

Question

Dado el diagrama a continuación, estoy tratando de determinar el valor de $x$ en términos de $a$, $b$ y $c

Ya he consultado esto con algunos de mis colegas. Parece obvio que el problema tiene solo una solución, pero no podemos encontrarla… ¿es la trigonometría la respuesta, como pensamos?

Si alguien está interesado, el problema original que estaba tratando de resolver era el siguiente: estaba trazando una letra Z (en Inkscape) y quería asegurarme de que el ancho de trazo fuera constante. Para lograr esto, necesito determinar las posiciones horizontales y verticales para el inicio y el final de la barra diagonal, como se ilustra aquí:

Answer 1

El truco aquí es desplazar la perpendicular entre las dos líneas diagonales hacia arriba para obtener dos triángulos similares. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos $$\frac ax=\frac b{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}$$ que se puede manipular para obtener un polinomio cuadrático para $x$: $$a\sqrt{b^2+(c-x)^2}=bx$$ $$a^2(b^2+(c-x)^2)=b^2x^2$$ $$b^2+c^2-2cx+x^2=\frac{b^2}{a^2}x^2$$ $$\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2-2cx+b^2+c^2=0$$ Después de resolver, es necesario comprobar si los valores de $x$ obtenidos son sensatos: deben estar dentro de 0 y $c$.

Answer 2

Al calcular el área total de dos formas, tenemos $$ \frac{1}{b}(c+x) = \frac{1}{2}b(c-x) + a\sqrt{b^2+(c-x)^2} $$ y por lo tanto $$\frac{bx}{a} = \sqrt{b^2+(c-x)^2} $$ El resto de la prueba es igual que en la solución de Parcly Taxel.

Answer 3

Definamos un ángulo $\alpha$ que define la línea entre las líneas anotadas a y b. Entonces tenemos $x=a/\cos\alpha$ y $c=x+b\tan\alpha$. Usando $x=\cos^{-1}(\alpha/x)$, $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ y $\sin\cos^{-1}y=\sqrt{1-y^2}$, obtenemos $c=x+b\sqrt{1-\alpha^2/x^2}/(a/x)$. Simplificando eso obtenemos la solución de Parcly Taxel.

Answer 4

En el diagrama hay un paralelogramo a la izquierda, y un triángulo rectángulo a la derecha, y denoto por $y$ el segmento oblicuo que es a la vez un lado del paralelogramo y la hipotenusa del triángulo.

Al calcular el área del paralelogramo de dos maneras, vemos: $$bx = ay$$ pero $y$ también es fácil de determinar mediante Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo, así que sustituyendo: $$bx = a\sqrt{b^2+(c-x)^2}$$ que es la misma ecuación a la que llegan todas las demás respuestas.