Es la cardinalidad de un bien definida de la función?

Question

Me preguntaba si la cardinalidad de un conjunto está bien definida la función, más específicamente, tiene un lugar bien definido el dominio y el rango?

Uno diría usted podría asignar un número a cada conjunto finito, y la cardinalidad de un conjunto infinito. Por lo que el intervalo es clara, el conjunto de los números cardinales. Pero, ¿qué acerca del dominio, aquí tenemos un par de problemas. Este debe ser el conjunto de todos los conjuntos, sin embargo, este concepto no está permitido en las matemáticas, ya que conduce a paradojas como la paradoja de Russell.

Entonces, ¿cómo se formaliza el concepto de cardinalidad'? Parece comportarse como una función que se asigna a los conjuntos de los números cardinales, pero no se puede definir de esta manera ya que la definición sería la paradójica noción. Incluso si sólo nos limitamos a lo finito establece el problema aparece, como podríamos definir el conjunto {A} para cada conjunto, mostrando así una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los conjuntos "(que no existe) y el "conjunto de todos los conjuntos con un elemento'.

Entonces, ¿cómo debe uno considerar el concepto de cardinalidad? Usted no puede razonablemente llamar a una función. La formalización de este concepto sin entrar en paradojas parece muy difícil de hecho.

Answer 1

La cardinalidad de la función está bien definida, pero es lo que se conoce como una clase de función. Ya que cada juego tiene una cardinalidad, el dominio de la función $A\mapsto |A|$ tiene que ser la clase de todos los conjuntos, por lo que este es, de hecho, una clase adecuada. Y ya que cada conjunto tiene un estricto gran cardenal, la clase de los cardenales no es una serie cualquiera.

El uso de los axiomas de la teoría de conjuntos, podemos canónicamente determinar un objeto, en el conjunto teórico del universo, que representan el cardenal $|A|$. Así que la función $A\mapsto|A|$ es de hecho definibles.

Debe señalarse, tal vez, que esta clase de función es también susceptible. Es decir, la restricción a cualquier conjunto de conjuntos, el resultado será una función que es en sí mismo un conjunto. Es decir, un conjunto de conjuntos sólo puede tener un conjunto de distintos cardenales. Esto es una consecuencia directa de la Sustitución axioma.

Hay una cierta dificultad inherente al principio cuando se habla de la existencia de una adecuada clases, y si están o no están bien definidos los objetos. En el caso de $\sf ZFC$ y las teorías relacionadas con la existencia significa "un conjunto", pero cuando decimos que una clase existe y es bien definido, nos referimos a decir que no hay una definición de lo que es demostrablemente que nos da la función que queremos. Este es el caso de su pregunta.

Pero también se puede trabajar en clase de teorías como la $\sf KM$ (Kelley–Morse) o $\sf NBG$ (von Neumann–Gödel–Bernays), y la función de la asignación de cada conjunto de su cardinalidad es todavía una función de la clase y no una serie, pero ahora existe en un "medio interno" como un objeto del universo.

Answer 2

La colección de todos los conjuntos no forma un conjunto en ZF (de estilo) la teoría de conjuntos, de hecho. Tenga en cuenta que el mismo es cierto para la colección de todos los cardenales: no hay ningún conjunto que contiene todos los cardenales, porque entonces su unión sería un conjunto así, y sería una mayor cardenal de alguno de sus elementos.

Así que la función $X \mapsto |X|$ no es una función internamente a ZFC. Sin embargo, se puede hacer de una función externa: es decir, no hay una fórmula $\phi(x,y)$, en dos variables libres, que ocurre si y sólo si $y$ es la cardinalidad de a $x$. Para esta fórmula, podemos probar a $\phi(x,y) \land \phi(x,y') \to y = y'$, y podemos demostrar $\forall x \exists y \phi(x,y)$. Por lo tanto, si queremos, podemos introducir un símbolo de función $\mathrm{Card}$ a el lenguaje de la teoría de conjuntos, de tal manera que $\mathrm{Card}(x)$ se interpreta como la única $y$ tal que $\phi(x,y)$. Esto está bien para los fines para los que queremos usar la cardinalidad.

Tenga en cuenta también que si usted está buscando en una forma más limitada de parte de el universo de los conjuntos, decir $V_\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$, entonces la restricción de la meta-función de $\mathrm{Card}$ a este conjunto no forma parte de un conjunto.

Answer 3

Se equinumerous o bijective es una relación de equivalencia en un conjunto: $x\equiv y$ fib hay un bijection $f:x\text{ onto }y$. El problema es definir un conjunto total de la función (una clase adecuada de curso) $F$ satisfacción $x\equiv y$ fib $F(x)=F(y)$.

En ZFC esto se hace por la cardinalidad de la función $F(x)=\text{card}(x)$, cuyos valores son los cardenales, y que satisface a $x\equiv F(x)$, es decir, es un verdadero transversal.

En ZF, esto se hace por $F(x)=$ el conjunto de todos los conjuntos de $y$$x\equiv y$, los que tienen menos de von Neumann rango de entre todos estos conjuntos, y por lo general, se $x\not\equiv F(x)$, por supuesto.

Yo no sé, aunque si alguien ha conseguido demostrar que en ZF no hay verdadera transversal para $\equiv$.

Answer 4

La práctica de la cosa a hacer es restringir a sí mismo a la superestructura $V(\mathbb R)$ que es la unión de $V_n(\mathbb R)$ $n$ ejecuta a través de $\mathbb N$. Aquí $V_n(\mathbb R)$ se define inductivamente mediante el establecimiento $V_0=\mathbb R$ $V_{n+1}=V_n\cup \mathcal{P}(V_n)$ donde $\mathcal P$ es el powerset. Aquí $\mathbb R$ puede ser reemplazado por su favorito de ajuste (sólo estancia lejos de las clases). La superestructura es suficiente para todas las necesidades prácticas de los ordinarios de las matemáticas, tales como el análisis, análisis funcional, geometría diferencial, álgebra, topología, etc.

Por lo tanto la cardinalidad es una función definida en la superestructura.