Difractivos de la óptica en el Fresnel (paraxial) la aproximación es
exactamente el mismo que el de la mecánica cuántica de una partícula cuando
espesor a lo largo del eje óptico se sustituye por el tiempo, índice de refracción es
reemplazada por la masa y la inversa de la frecuencia angular de la monocromática
la luz es reemplazado por la constante de Planck. Aquí está un breve esbozo.
La Mecánica Clásica
La unidad de la óptica y la mecánica es más claro el uso de los generadores de transformaciones canónicas (consulte la sección 2.1 de la Teoría de Campo de Pierre Ramond).
El Hamiltoniano de una partícula libre es $H=\frac{p^{2}}{2m}$. El generador de este Hamiltoniano es,
\begin{eqnarray*}
G(q,Q)&=&\frac{m(q-Q)^{2}}{2t}\\
p&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial q}\\
-P&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial Q}
\end{eqnarray*}
Por meterse con el generador de podemos escribir canónica de la transformación como una matriz de transformación desde el estado inicial $(P,Q)$ para el estado final $(p,q)$.
\begin{equation}
\left[
\begin{array}{c}
p \\
q
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{t}{m} & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
P \\
Q
\end{array}
\right] \ .
\end{equation}
El $2\times 2$ matriz es un elemento de la simpléctica grupo Sp(2,R). En otras palabras, la mecánica clásica (para cuadrática Hamiltonianos) es sinónimo de que las dos dimensiones de la definición de la representación de Sp(2,R) realizado en las dos dimensiones del espacio de fase $(p,q)$,
La Mecánica Cuántica
El impulso se convierte en un operador $p\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial q}$. Los estados pasan a ser wavefunctions $\langle Q|\psi\rangle$. La canónica de transformación se convierte en un operador unitario,
\begin{equation}
\langle q|U|Q\rangle
\propto \exp\left(\frac{i G(q,Q)}{\hbar}\right)=
\sqrt{\frac{m}{it}}\exp\left(
\frac{im(q-Q)^{2}}{2t\hbar}\right)
\end{equation}
La amplitud de la $\langle q|U|Q\rangle$ es un infinito de dimensiones de la matriz. Las filas son indexados por $q$ y las columnas por $Q$.Los estados inicial y final se relacionan,
\begin{equation}
\langle q|U|\psi\rangle=\int\frac{dQ}{\sqrt{2\pi}}
\langle q|U|Q\rangle\langle Q|\psi\rangle
\end{equation}
La integral es un infinito-dimensional de la multiplicación de la matriz. Diferenciando la ecuación anterior se recupera la ecuación de Schrödinger,
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\right)^{2}\psi
\end{equation}
El operador $\langle q|\hat{U}|Q\rangle$ es un elemento de un infinito-dimensional de la representación unitaria de la simpléctica grupo Sp(2,R). En otras palabras, la mecánica cuántica (por cuadrática Hamiltonianos) es sinónimo de infinito-dimensional unitario de representaciones de Sp(2,R) realizado en el espacio de wavefunctions $\psi(q)$.
La Óptica De Rayos X
Fermat principio de menos tiempo
en la óptica de rayos x juega el r\^{o}le de el principio de la menor acción en
la mecánica clásica.
Deje $s$ ser la distancia a lo largo de un rayo.
A la hora de moverse por la distancia $ds$ $dt=nds/c$ donde $c$ es la velocidad
de la luz en el vacío y $n$ es el índice de refracción del material.
El tiempo total de la ruta es,
\begin{equation}
S=\int dt=\int \frac{nds}{c}=\int \frac{n\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}}{c}
=\int\frac{ndz}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}}\ .
\end{equation}
donde $\dot{q}=dq/dz$ e las $z$ coordinar en la óptica de rayos x juega el
r\^{o}le de tiempo en la mecánica clásica. El Lagrangiano en la óptica de rayos x
es por lo tanto,
\begin{equation}
L=\frac{n}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}} \ .
\end{equation}
El canónicamente conjugadas con el impulso,
\begin{equation}
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}
=\frac{n\dot{q}}{c\sqrt{1+\dot{q}^{2}}}
=\frac{ndq}{c\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}}
=\frac{n}{c}\frac{dq}{ds}\ .
\end{equation}
La óptica de rayos x de Hamilton es,
\begin{equation}
H=p\dot{q}-L=-\sqrt{\left(\frac{n}{c}\right)^{2}-p^{2}}
\simeq\frac{p^{2}c}{2n}-\frac{n}{c}
\end{equation}
y el último resultado es de pequeño impulso. La óptica de rayos x es la misma que la mecánica clásica con $\frac{n}{c}$ en lugar de masa $m$. El $2\times 2$ matrices de la definición de la representación de Sp(2,R) son los rayos de transferencia de matrices en la óptica de rayos x.
Difractivos Óptica
El impulso se convierte en un operador $p \propto -i\frac{\partial}{\partial q}$.
La constante de proporcionalidad no puede ser la constante de Planck $\hbar$ debido a que las dimensiones están equivocados. En la óptica de rayos x, el impulso
tiene unas dimensiones de segundo/metro y, entonces, la constante ha a
tiene dimensiones de segundo. La cantidad física con dimensiones de segundo
es la inversa de la frecuencia de la luz. Un factor de $2\pi$ aparece justo
como en la constante de Planck $\hbar$, por lo que el constante con dimensiones de
la segunda es, de hecho, la inversa de la frecuencia angular $\omega^{-1}$ de la
la luz. El impulso del operador es ahora,
\begin{equation}
p= -i\omega^{-1}\frac{\partial}{\partial q}
\end{equation}
y todo en la mecánica cuántica de una partícula que se va a
difractivos óptica mediante la sustitución de $\hbar\rightarrow \omega^{-1}$.
Por ejemplo, el plano de onda en la mecánica cuántica es,
\begin{equation}
\psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\hbar}\right)
\end{equation}
y así el plano de la onda en difractivos óptica es,
\begin{equation}
\psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\omega^{-1}}\right)
=\exp\left(\frac{in\omega}{c}\frac{dq}{ds}q\right)
=\exp\left(\frac{i2\pi n\sin(\theta)q}{\lambda}\right)
\end{equation}
utilizando la definición de la óptica de rayos impulso.
La mecánica cuántica no es tan extraño porque es la misma teoría que difractivos de la óptica en el Fresnel (paraxial o pequeño impulso) la aproximación. Aprendí leyendo el capítulo introductorio de "Simpléctica técnicas en la física", por Victor Guillemin y Shlomo Sternberg.
Huygen del Principio y de la Mecánica Cuántica
La amplitud de la $\langle q|U|Q\rangle$ para una partícula libre dado en el lado derecho de la primera ecuación de la sección en que la mecánica cuántica es una onda cilíndrica centra en coordinar $Q$. La integral en la segunda ecuación es entonces una suma de ondas cilíndricas y este es el Principio de Huygen. Así, la ecuación de Schrödinger se puede derivar de Huygen del principio.
