Transformación de Anscombe y aproximación normal

Question

La transformación de Anscombe es $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$.

¿Alguien me puede mostrar cómo demostrar que una versión transformada de Anscombe $Y = a(X)$ de un variable aleatoria Poisson distribuida del $X$ es aproximadamente normal distribuido (cuando $\lambda>4$)?

Answer 1

Aquí es un boceto de una prueba que combina tres ideas: (a) el método delta, (b) la varianza de estabilización de las transformaciones y (c) el cierre de la distribución de Poisson bajo independiente de sumas.

En primer lugar, vamos a considerar una secuencia de iid variables aleatorias de Poisson $X_1, X_2, \ldots$, con una media de $\lambda > 0$. Entonces, el Teorema del Límite Central afirma que $$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> . $$

Observe que la varianza asintótica depende de la (desconocidos, presumiblemente) el parámetro $\lambda$. Sería bueno si pudiéramos encontrar alguna función de los datos de $\bar{X}_n$ de manera tal que, después de centrado y reescalado, tenía la misma varianza asintótica no importa lo que el parámetro de $\lambda$ fue.

El método delta proporciona una forma práctica para determinar la distribución de las funciones lisas de algunos estadística cuya limitante de la distribución ya es conocido. Deje $g$ ser una función con primera derivada continua tal que $g'(\lambda) \neq 0$. Entonces, por el método delta (especializada para nuestro caso particular de interés), $$ \sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>. $$

Así que, ¿cómo podemos hacer que la varianza asintótica constante (es decir, el valor de $1$) para todos los posibles $\lambda$? A partir de la expresión de arriba, sabemos que tenemos que resolver

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

No es difícil ver que la antiderivada general es $g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$ cualquier $c$, y la limitación de la distribución es invariante a la elección de $c$ (por sustracción), por lo que podemos establecer $c = 0$ sin pérdida de generalidad. Una función de este tipo $g$ se llama una variación de estabilización de la transformación.

Por lo tanto, mediante el método delta y nuestra elección de $g$, llegamos a la conclusión de que $$ \sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>. $$

Ahora, la distribución de Poisson es cerrado bajo independiente de sumas. Por lo tanto, si $X$ es de Poisson con una media de $\lambda$, entonces no existen variables aleatorias $Z_1, \ldots, Z_n$ que son iid de Poisson con una media de $\lambda/n$ tal que $\sum_{i=1}^n Z_i$ tiene la misma distribución que $X$. Esto motiva la aproximación en el caso de una sola variable aleatoria de Poisson.

Lo que Anscombe (1948) encontró que la modificación de la transformación de $g$ (ligeramente) a $\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$ para algunas constantes $b$ realmente funcionó mejor para el menor $\lambda$. En este caso, $b = 3/8$ es de alrededor de óptimo.

Tenga en cuenta que esta modificación "destruye" la verdadera varianza de estabilización de la propiedad de $g$, es decir, $\tilde{g}$ es no la varianza de la estabilización en el sentido estricto. Pero, es estrecha y da mejores resultados a menor $\lambda$.