La imagen inversa de un conjunto compacto es compacta

Question

Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, $X$ compacto, y $f : X \to Y$ continuo. Entonces la preimagen de cada subconjunto compacto de $Y$ es compacta.

Bajo la estipulación de que $X$ e $Y$ son espacios métricos, este es un teorema en el libro Análisis Matemático Real de Pugh. La demostración utiliza la compacidad por sucesiones. ¿Es este teorema cierto en general (i.e. puede demostrarse solo con la compacidad por recubrimiento)?

Answer 1

La afirmación es cierta si $Y$ es Hausdorff: si $C\subseteq Y$ es compacto, entonces es cerrado; por lo tanto $f^{-1}(C)$ es cerrado en $X, por lo tanto compacto.

Para un contraejemplo, tome $Y=X$ con la topología indiscreta y $f$ el mapa identidad. Entonces, cada subconjunto de $Y$ es compacto, lo cual puede ser fácilmente arreglado para que no lo sea en $X$.

Answer 2

Un mapa $f:X\to Y$ se llama propio si la preimagen de cada subconjunto compacto es compacta. Se llama cerrado si la imagen de cada subconjunto cerrado es cerrada.

Si $X$ es un espacio compacto y $Y$ es un espacio de Hausdorff, entonces todo $f:X\to Y$ continuo es cerrado y propio.

Aquí hay algunos ejemplos donde $f$ no es propio:

• Con $X$ compacto: Sea $X=[0,1]$ y $f=\text{Id}:(X,\tau)\to(X,\sigma)$ donde $\tau$ es la topología euclidiana y $\sigma$ es la topología cofinita.
• Con $Y$ Hausdorff: Sea $f:\Bbb R\to\{*\}$ el mapa constante.

Answer 3

Esto no es cierto en general.

Sea $X=Y=[0,1]$. Tomemos $X$ con la topología usual. Para $Y$, tomamos la topología $$\tau=\left\{\varnothing,Y,(1/2,1]\right\}.$$ Entonces $id:x\in X\mapsto x\in Y$ es continua, pero $(1/2,1]=id^{-1}(1/2,1]$ no es compacto, aunque $(1/2,1]$ es compacto en $Y$.

Por otro lado, si $Y$ es Hausdorff, entonces todo compacto de $Y$ es cerrado, por lo que la imagen inversa de conjuntos compactos es cerrada, por lo tanto compacta.

Answer 4

Descargo de responsabilidad: Esta respuesta está destinada a complementar lo anterior, y aunque no es completamente general, ha sido útil en mi experiencia...

Si $Y$ es $\mathbb{R}$ entonces es suficiente que $f$ sea coercitiva. Cuando $X$ es un espacio vectorial topológico, la condición de coercitividad se reduce al requisito de que $$ \lim_{\|x\|\to \infty} f(x)=\infty, $$ lo cual suele ser fácil de verificar.