¿Es posible que una ecuación cuadrática tenga una raíz racional y otra irracional?

Question

¿Es posible que una ecuación cuadrática con coeficientes racionales tenga una raíz racional y otra irracional?

He visto que hay un post sobre esto, pero no lo entiendo. ¿Cómo se puede mostrar utilizando la fórmula cuadrática?

Answer 1

Considere $x(x-\pi)=0{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$ .

Editar: Aparentemente el OP quiere considerar polinomios sólo con coeficientes racionales pero no lo mencionó en la pregunta.

Como estás pidiendo exactamente dos raíces, el polinomio debe ser algo así como $\lambda(x-\alpha)(x-\beta)$ . Ahora quieres, sin pérdida de generalidad , $\lambda =1 \land \alpha\in \Bbb Q \land \beta \in \Bbb R\setminus \Bbb Q$ .

Sin embargo, $(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta$ .

Así que desea $\alpha \beta\in \Bbb Q \land \alpha +\beta\in \Bbb Q$ .

Pero $\alpha \beta\in \Bbb Q \land \alpha +\beta\in \Bbb Q\implies \alpha =0 \land \alpha +\beta\in \Bbb Q \implies \beta \in \Bbb Q$ .

Answer 2

Considere $f(x) = (x-p)(x-r)$ , donde $p \in \mathbb{Q}$ y $r \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ .

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Si todos los coeficientes del polinomio cuadrático $ax^2+bx+c$ son racionales, es decir $a,b,c \in \mathbb{Q}$ , entonces o bien ambas raíces son racionales o bien ambas raíces son irracionales. Esto se debe a que las raíces están dadas por $$x^* = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Desde $a,b,c \in \mathbb{Q}$ la raíz irracional sólo puede darse cuando $\sqrt{b^2-4ac}$ es irracional (¿Por qué?), es decir, $b^2-4ac \neq (p/q)^2$ , donde $p,q \in \mathbb{Z}$ y $q \neq 0$ . Pero si $\sqrt{b^2-4ac}$ es irracional digamos $r$ , entonces las dos raíces $$\dfrac{-b \pm r}{2a}$$ son irracionales. Puede que quieras mirar esta pregunta para ver cuándo la suma de racionales/irracionales es racional/irracional.

Answer 3

Supongamos que $ax^2+bx+c=a(x-p)(x-q)$ con $a,b,c,p$ racional. Entonces, expandiendo y comparando los coeficientes, se ve que $q=-p-\dfrac{b}{a}$ . Entonces, ¿qué se puede decir de $q$ ?