Grupos de reflexión y grupo simétrico

Question

Definir la acción de $S_n$ $\mathbb{R}^n$:

tomar cualquier $x\in S_n$, tener en cuenta el % de asignación $x: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, $e_1, e_2 ...e_n$ son la base estándar de $\mathbb{R}^n$, $x(e_k)=e_{x(k)}$, claramente $x$ es una transformación lineal.

¿Cómo mostrar que si $x\in S_n$ es una reflexión para algunos vectores entonces $x$ es una transposición?

¿Sólo puedo mostrar que las transposiciones son reflexiones, cómo demostrar que no hay más?

Answer 1

Si $x \in S_n$ define una reflexión de $\mathbb R^n$, entonces el $x$ tiene orden 2, por lo tanto es un producto de transposiciones. Si una de estas transposiciones es $(1\;2)$ $e_1$ se asigna a $e_2$ y viceversa. Hay solamente una reflexión con esta propiedad, es decir, la reflexión en el hiperplano ortogonal a $e_1-e_2$. Esta reflexión deja todos los $e_i$ ($i \neq 1,2$) sin cambios, así que el % de transposición $x$$(1\;2)$.

Answer 2

Si $p$ es una permutación cuya discontinuo ciclo de descomposición es $c_1c_2\cdots c_r$ (incluyendo los ciclos de longitud $1$), entonces la multiplicidad de $1$ como un valor propio del mapa inducida por $p$ es, precisamente,$r$. De ello se desprende que $p$ es un reflejo iff no es exactamente un ciclo de longitud $2$ y el resto son de longitud $1$; por supuesto, esto sucede exactamente al $p$ es una transposición.

Por supuesto, tenemos que revisar mi solicitud inicial en la multiplicidad de $1$.

Considere la matriz $M$ del mapa inducida por $p$. Es fácil ver que, hasta permuting la base, $M$ es de hecho una manzana de la diagonal de la matriz, con un bloque correspondiente a cada uno de los ciclos de $c_i$. La multiplicidad de $1$ como un autovalor es por tanto la suma de las multiplicidades de $1$ como valores propios de cada una de las matrices de permutación correspondiente a la $c_i$. Estamos por lo tanto reduce a mostrar que la si $p$ es el ciclo de $(1,2,3\dots,n)$, $1$ es un autovalor simple. Pero esto es inmediato: el polinomio característico, que coincide con el mínimo de uno, es $x^n-1$.