La razón por la que la desigualdad es equivalente a RH (para curvas) es la ecuación funcional.
Yo escribí los detalles de la discusión hace algunos años (en un libro inédito en zeta y $L$-funciones), por lo que es fácil de cortar y pegar aquí. El polinomio $L(z)$ hablo a continuación iba a surgir en la práctica como el numerador de la zeta-función de la curva, con $z = q^{-s}$ y la habitual versión de la hipótesis de Riemann para $L(q^{-s})$ es equivalente a la afirmación de que el recíproco raíces de $L(z)$ todos tienen valor absoluto $\sqrt{q}$. Esa es la forma de la hipótesis de Riemann me referiré en lo que sigue.
Supongamos que tenemos un polinomio $L(z)$ sobre los números complejos con término constante 1 y grado $d$, era un factor más de su recíproco raíces:
$$
L(z) = (1 - \alpha_1z)\cdots(1-\alpha_dz), \ \ \ \ alpha_j \no= 0.
$$
Deje $L*(z)$ ser el polinomio con el complejo conjugado de coeficientes a los de $L(z)$, por lo que
$$
L*(z) = (1 - \overline{\alpha_1}z)\cdots(1-\overline{\alpha_d}z).
$$
(Lo siento, quiero hacer el asterisco en un exponente en este particular .tex situación, pero no es de trabajo y no tengo tiempo para averiguarlo.)
Suponga $L(z)$ $L*(z)$ están conectados por la ecuación funcional
$$
L(1/qz) = \frac{W}{z^d}L*(z)
$$
para algunas constantes $W$. Si se comparan los coeficientes de las mismas potencias de $z$ a ambos lados, esta ecuación funcional implica la asignación de $\alpha \mapsto q/\alpha$ envía recíproca raíces de $L(z)$ a la recíproca raíces de $L*(z)$ (e $W$ tiene valor absoluto $q^{d/2}$).
Lema 1. La concesión de la funcional de la ecuación anterior, las siguientes condiciones son equivalentes:
i$)$ el recíproco raíces de $L(z)$ tienen valor absoluto $\sqrt{q}$ (HR $L(z)$),
ii$)$ el recíproco raíces de $L(z)$ tienen valor absoluto $\leq \sqrt{q}$.
Prueba. Sólo tenemos que mostrar ii implica que yo.
Suponiendo ii, deje $\alpha$ ser cualquier recíproco de la raíz de $L(z)$,
por lo $|\alpha| \leq \sqrt{q}$. Por el funcional
ecuación, $q/\alpha$ es recíproco
raíz de $L*(z)$, lo $q/\alpha = \overline{\beta}$
para algunos recíproco de la raíz de $\beta$$L(z)$.
A continuación, $|q/\alpha| = |\overline{\beta}| = |\beta| \leq \sqrt{q}$ e lo $\sqrt{q} \leq |\alpha|$.
Por lo tanto, $|\alpha| = \sqrt{q}$ y me sigue. QED
Este lema reduce la prueba de la hipótesis de Riemann para $L(z)$ a partir de la igualdad $|\alpha_j| = \sqrt{q}$ todos los $j$ para el límite superior $|\alpha_j| \leq \sqrt{q}$ todos los $j$. Por supuesto, la ecuación funcional fue crucial en la explicación de por qué el superficialmente más débil de la desigualdad implica la igualdad.
A continuación queremos mostrar que el límite superior de la $|\alpha_j|$'s en la parte ii del Lema 1 es equivalente a un $O$-estimación de las sumas de las potencias de la $\alpha_j$s de que superficialmente parece más débil.
Estamos interesados en las sumas
$$
\alpha_1^n + \cdots + \alpha_d^n,
$$
que surgen de la teoría de la zeta-funciones como coeficientes en un aumento exponencial de generación de función: desde $L(z)$ tiene término constante 1, podemos escribir (como poder formal de la serie sobre los números complejos) $$L(z) = \exp\left(\sum_{n \geq 1}N_n z^n/n\right)$$
y, a continuación, diferenciación logarítmica muestra
$$
N_n = -(\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n)
$$
para todos los $n \geq 1$.
Lema 2.
Para distinto de cero de los números complejos $\alpha_1,\dots,\alpha_d$ y un
constante $B > 0$, los siguientes son equivalentes:
i$)$
Para algunos $A > 0$, $|\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n| \leq AB^n$ para
todos los $n \geq 1$.
ii$)$
Para algunos $A > 0$ y un entero positivo $m$,
$|\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n| \leq AB^n$
todos los $n \geq 1$$n \equiv 0 \bmod m$.
iii$)$ $|\alpha_j| \leq B$ para todos los $j$.
La parte ii está diciendo que usted sólo tiene que mostrar la parte i al $n$ se ejecuta a través de la (positivo) múltiplos de cualquier número entero positivo para saber que es verdadera para todos los enteros positivos $n$. Es una buena técnica en la prueba de la hipótesis de Riemann para las curvas, pero el corazón de las cosas es la conexión entre las partes i y iii. (Estamos interesados en la parte iii con $B = \sqrt{q}$.) Usted puede establecer el $m = 1$ para hacer la prueba por debajo de ese ii implica iii en una prueba de que me implica iii. El pasaje de la i a la iii, es lo que Dave se refiere en su respuesta, cuando se cita el libro de Iwaniec y Kowalski.
Prueba.
Fácilmente me supone ii y (desde $|\alpha_j| = |\overline{\alpha_j}|$)
iii implica que yo.
Para mostrar ii implica iii, utilizamos un lindo analítica truco. Suponiendo ii, la serie
$$
\sum_{n \equiv 0 \bmod m} (\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n)z^n
$$
es absolutamente convergente para $|z| < 1/B$, por lo que la serie se define un holomorphic función en este disco. (La suma es más positivos múltiplos de $m$, por supuesto).
Al $|z| < 1/|\alpha_j|$
todos los $j$, la serie puede ser calculada a ser
$$
\sum_{j=1}^{d} \frac{\alpha_j^mz^m}{1-\alpha_j^mz^m} =
\sum_{j=1}^{d}\frac{1}{1-\alpha_j^mz^m} - d,
$$
por lo que la función racional $\sum_{j=1}^{d} 1/(1-\alpha_j^mz^m)$ es holomorphic
en el disco $|z| < 1/B$. Por lo tanto, los polos de esta función racional debe tener valor absoluto $\geq 1/B$. Cada una de las $1/\alpha_j$ es un poste, por lo $|\alpha_j| \leq B$ todos los $j$. QED
Teorema.
Los siguientes son equivalentes:
yo$)$ $L(z)$ satisface la hipótesis de Riemann ($|\alpha_j| = \sqrt{q}$ todos los $j$),
ii$)$ $N_n = O(q^{n/2})$ como $n \rightarrow \infty$,
iii$)$ para algunos $m \geq 1$, $N_n = O(q^{n/2})$ como $n \rightarrow
\infty$ through the multiples of $m$.
Prueba.
Fácilmente me implica, ii y ii implica iii.
Suponiendo iii, obtenemos $|\alpha_j| \leq \sqrt{q}$ todos los $j$ por
Lema 2, y esta desigualdad en todos los $j$ es equivalente a i
por el Lema 1. QED
Brandon le preguntó, después de Rebecca la respuesta, si la desigualdad implica que las conjeturas de Weil (para curvas) y Dave también se refirió en su respuesta a las conjeturas de Weil siguiente de la desigualdad. En este contexto, al menos, no debería decir "las conjeturas de Weil" cuando quieres decir "hipótesis de Riemann" que hemos usado la ecuación funcional en el argumento y que es en sí mismo parte de las conjeturas de Weil. La desigualdad no implica que las conjeturas de Weil, pero sólo la hipótesis de Riemann (después de la funcional de la ecuación está establecido).
Que la desigualdad es lógicamente equivalente a RH, y no sólo una consecuencia de la misma, tiene algunos matemáticos de interés ya que esta es una de las rutas para una prueba de las conjeturas de Weil para las curvas.
P. S. Brandon, si usted tiene otras preguntas acerca de las conjeturas de Weil para las curvas, pregunte a su asesor de tesis si usted podría ver en su tesis de graduación. Usted encontrará los argumentos anteriores, allí, junto con aplicaciones a la teoría de la codificación. :)
