cuártico racional en $\mathbb{P}^3$

Question

Según Hartshorne (ejercicio IV.6.1), una curva racional de grado 4 en $\mathbb{P}^3$ está contenida en una única superficie cuádrica lisa. Si este es el caso, entonces debe definir un divisor en ella. Mi pregunta es, ¿cuál es el tipo de este divisor? Parece que debe ser de tipo $(1,3)$ (mediante el siguiente ejemplo) pero no sé cómo mostrarlo en general.

Se puede elaborar un ejemplo en el que la cuádrica sea $\{xw-yz=0\}$ y el cuártico es $$\{xw-yz=0,wy^2-xz^2=0,z^3-w^2y=0,y^3-x^2z=0\}.$$

Esta intersección $\{x=0,z=0\}$ con multiplicidad $1$ y $\{x=0,y=0\}$ con multiplicidad $3$ por lo que obtenemos el tipo $(1,3)$ (lo cual es bastante sorprendente, porque pensé que debíamos conseguir $(2,2)$ por simetría). En general, veo que sólo puede ser del tipo $(2,2)$ o $(1,3)$ pero no veo cómo descartar $(2,2)$ .

Answer 1

Los divisores de grado bi (2,2) proceden de restringir las cuádricas genéricas en $\mathbb{P}^3$ a la cuádrica que contiene la curva. Así que necesitaría al menos dos cuádricas en $\mathbb{P}^3$ que contienen la curva para realizarla como divisor (2,2), y sólo hay uno como has mostrado en el ejercicio. De hecho, puedes aplicar la adjunción para demostrar que una intersección completa (no singular) de dos cuádricas en $\mathbb{P}^3$ tiene un haz canónico trivial, por lo tanto, no puede ser racional.

Answer 2

Aplique la adjunción como en el ejemplo V.1.5.2 de Hartshorne para obtener $g = 2\cdot 2-2-2+1 = 1 \neq 0$ para una curva de tipo $(2,2)$ en $Q$ .