Integralidad y estanqueidad uniformes.

Question

Definición: Dejemos que $(X,M,\mu)$ sea un espacio de medidas y $\{f_n\}$ una secuencia de funciones medibles sobre $x$ que son integrables.
Entonces $\{f_n\}$ es uniformemente integrable si para cada $\epsilon >0$ Hay un $\delta >0$ de manera que si $E$ es un subconjunto medible de $X$ tal que $\mu(E) < \delta$ entonces $$ \int_E |f_n|~d\mu < \epsilon\qquad\text{for every} ~n.$$

$\{f_n\}$ se dice que apretado si para cada $\epsilon >0$ hay un subconjunto $X_0$ de $X$ tal que $\mu(X_0)< \infty$ y $$\int_{X\setminus X_0} |f_n|~d\mu < \epsilon\qquad\text{for every} ~n.$$

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Teorema:(Convergencia de Vitali) Dejemos que $(X,M,\mu)$ sea un espacio de medidas. Sea $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones uniformemente integrables que también forma una secuencia ajustada. Supongamos que $f_n(x) \to f(x)$ a.e. en $X$ . Entonces, $f$ es integrable y, $$ \lim_{n\to \infty} \int_X f_n~d\mu = \int_X f~ d\mu.$$

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Deseo demostrar lo siguiente:

Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones integrables no negativas sobre $X$ . Supongamos que $\{f_n(x)\} \to 0$ para casi todos los $x\in X.$ . Entonces $$ \lim_{n\to\infty} \int f_n~d\mu =0 \Leftrightarrow \{f_n\}~\text{is uniformly integrable and tight.}$$

Este es mi intento:

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $f_n \to 0$ . Si $\{f_n\}$ es uniformemente integrable y ajustada, entonces por el teorema de convergencia de Vitali, $\lim_{n\to \infty} \int f_n~d\mu = 0$ .

$(\Rightarrow)$ Dejemos que $\lim_{n\to \infty} \int f_n~d\mu = 0$ . Dejemos que $\epsilon >0$ . Entonces $\exists$ un $N$ tal que $\int_X f_n ~d\mu< \epsilon$ siempre que $n\geq N.$ Además, como $f_n \geq 0$ , si $E$ es un subconjunto medible de $X$ y $n\geq N$ entonces $\int _E f_n~d\mu < \epsilon.$

Sé que si tengo una secuencia finita $\{f_k\}_{n=1}^N$ de funciones integrables no negativas sobre $X$ entonces $\{f_k\}_{n=1}^N$ es uniformemente integrable, ya que si $E\subset X$ y $\mu(E)<\delta_k>0$ entonces $\int_E f_k~d\mu < \epsilon$ . Puedo tomar $\delta=\min (\delta_1,\ldots, \delta_k)$ para que $\mu(E)< \delta$ y $$\int_E f_k~d\mu < \epsilon.$$

Me temo que aquí es donde estoy atascado y no sé cómo proceder. Cualquier forma de ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Para mostrar la estanqueidad, fijar $\varepsilon>0$ . Entonces se obtiene $N=N(\varepsilon)$ tal que $\int_Xf_nd\mu\leq\varepsilon$ si $n\geq N+1$ . Ahora, para todos $n\leq N$ puede encontrar un positivo $M$ tal que $\int_{\{f_n\geq M_n\}}f_nd\mu\leq \varepsilon$ utilizando la integrabilidad de $f_n$ . (si $f$ es integrable aplicar el teorema de convergencia monótona a $f\mathbf 1_{\{|f|\geq n\}})$

Poner $A_n:=\{f_n\leq M_n\}$ entonces $A_n$ es medible. Tome $X_0:=\bigcap_{k=1}^NA_k^c$ . Cada $A_k^c$ tiene medida finita (ya que $\mu(A_k^c)\leq \frac 1{M_k}\int f_kd\mu$ ) por lo que $X_0$ es de medida finita. Comprueba que tenemos la desigualdad deseada.

Answer 2

Cuando intentas demostrar $(\Rightarrow)$ el límite permite acotar las integrales de $f_n$ por $\epsilon$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Entonces se trata de utilizar el hecho de que cualquier colección de número finito de $L^1(E)$ son uniformemente integrables y ajustadas.

Este es el problema 1 en $\textit{Royden and Fitzpatrick}$ página 99. En la fe de erratas el autor menciona que hay que intercambiar los problemas 1 y 2 porque el problema 2 establece que hay que demostrar que cualquier colección de número finito de $L^1(E)$ son uniformemente integrables y ajustadas sobre $E$ . Una vez que se demuestra que el problema se vuelve trivial.

Answer 3

Esta solución es para los lectores de Análisis real, cuarta edición, por Royden y Fitzpatrick.

Esto es análogo al teorema 24 de la sección 4.6. Si $\{h_n\}$ es uniformemente integrable y ajustada, entonces $\lim_{n\to\infty}\int_E h_n = 0$ por el teorema de convergencia de Vitali. A la inversa, supongamos que $\lim_{n\to\infty}\int_E h_n = 0$ . Entonces $\{h_n\}$ es uniformemente integrable sobre $E$ por el Teorema 26 de la Sección 4.6, observando que la parte inversa de la prueba no requiere que $E$ sea de medida finita. Ahora mostramos la estanqueidad. Para cada $\epsilon > 0$ podemos elegir un índice $N$ para lo cual $\int_E h_n <\epsilon$ si $n\ge N$ . Por lo tanto, porque $h_n\ge 0$ en $E$ ,

si $E_0$ es un subconjunto de $E$ de medida finita y $n\ge N$ entonces $\displaystyle\int_{E\sim E_0} h_n <\epsilon.\quad$ (*)

Según el problema 1, la colección finita $\{h_n\}_{n=1}^{N-1}$ está ajustado sobre $E$ . Dejemos que $E_0$ responder a la $\epsilon$ desafío en relación con el criterio de estanqueidad de $\{h_n\}_{n=1}^{N-1}$ . Deducimos de (*) que $E_0$ también responde a la $\epsilon$ desafío en relación con el criterio de estanqueidad de $\{h_n\}$ .