Superficies K3 con una involución de Enriques tienen una polarización de grado acotado

Question

Existe un número real $C$ con la siguiente propiedad.

¿Para cualquier Enriques superficie $E$ sobre un campo número $K$ K3 tapa $X\to E$, existe un amplio divisor $H$ $X$ tal que $H^2 \leq C$?

Contexto: Una polarización de grado $d$ en una superficie de K3 es un amplio divisor $H$ tal que $H^2 =d$. Me pregunto si está limitado el grado de polarización de una superficie de K3 con una involución de Enriques.

Answer 1

Sí, cada K3-superficie $X$ con Enriques involución tiene un amplio divisor $H_X$$deg \ H_X = 4$.

Prueba: El dado 3d de la superficie de $X$ es el universal que cubre $\pi: X \longrightarrow S$ de un Enriques superficie $S$. La cubierta tiene un grado $2$. Cualquier Enriques superficie de un divisor $D$, "la mitad" de lápiz, de tal manera que $2D$ es una elíptica lápiz $|2D|$. En particular,$D^2=0$. Definir en $X$ el divisor $C := \pi^*D$.

Dependiendo de divisores de a $S$ distinguir dos casos:

1. Una segunda mitad lápiz $D_2$ existe $D_2^2 = 0$ $(D,D_2)=1$ (no especiales Enriques superficie $S$)
2. o $(-2)$-curva de $E$ existen con $(D,E) = 1$ (especial Enriques superficie $S$).

En el primer caso, definir el divisor $C_2 := \pi^*D_2$ $X$ y establezca $f := f_{|C + C_2|}$. En el segundo caso se descomponen $\pi^*E = E_1 + E_2$ dos $(-2)$-curvas de $E_i, i = 1,2,$ $X$ y establezca $f := f_{|2C + E_1 + E_2|}$.

Uno de cheques: En ambos casos se obtiene una bien definida mapa

$$f:X \longrightarrow \mathbb P^3.$$

Es un ramificada de doble cubierta de la $f_X:X \longrightarrow Q$ a través de una quadric $Q$$\mathbb P^3$. El quadric es no-singular, en el primer caso y singular en el segundo.

El hyperplane sección $H_Q$ $Q \subset \mathbb P^3$ es muy amplio. Tiene grado $deg \ H_Q = 2$. El pull-back $H_X:=f_X^*H_Q$ a lo largo de la finitos mapa de $f_X$ es un divisor amplio en $X$ grado $deg \ H_X = 2*deg \ H_Q = 4$, p.e.d.

Nota. Para los detalles de la Horikawa representación anterior ver "Barth, W.; Hulek, K.; Peters, C.; van de Ven A.: Compacto Superficies Complejas", sección VIII, 18.