¿Cuál es la interpretación de los eigenvectores de la matriz de jacobian?

Question

Estoy tratando de pensar en la matriz de jacobian como mapa linear abstracto.

¿Cuál es la interpretación de los valores propios y vectores propios de jacobiano?

Answer 1

Supongamos que $F:M\rightarrow N$ es un buen mapeo de Riemann colectores, con $F(p)=q$. Deje $<\ , \ >_p$ $<\ , \ >_q$ el valor de las métricas en $T_pM$$T_qN$. Podemos definir un emparejamiento bilineal en $T_pM$$B(\vec{v},\vec{w})=<DF_p(\vec{v},DF_p(\vec{w})>_q$. Asumiendo que se utiliza bases ortonormales en $T_pM$ $T_qN$ a expresar la matriz de $DF_p$, esto es igual a $<DF_p^tDF_p(\vec{v}),\vec{w}>q$. La matriz de la vinculación con respecto a la base a la $T_pM$ será la matriz $DF_p^tDF_p$. Por Lagrange del teorema podemos encontrar una matriz ortogonal $P$, de modo que $P^t(DF_p^tDF)P$ es diagonal. La diagonal de las entradas de la matriz son los autovalores de a $DF_p^tDF_p$. Dicen lo mucho que la asignación de $F$ está distorsionando las distancias de cerca de $p$, como usted mapa en $N$.

No se trata exactamente de los autovalores de a $DF_p$, pero se podría decir que las cosas acerca de los autovalores de a $DF_p^tDF_p$ en términos de los valores propios de a $DF_p$.

Es cierto que no es expresivo y la aha. Pero es una comprensión de cómo los autovalores de la matriz $DF_p$ se refleja en el local de la geometría.

Answer 2

Lo que Frank de la Ciencia ha dicho en la pregunta del comentario anterior es correcto. Simplemente estoy ampliando su comentario aquí:

Desde el Jacobiano tiene vectores propios, es plaza decir, la entrada y salida del espacio tienen las mismas dimensiones. Si hay algún tipo de interpretación natural a la entrada y salida de base y que pueden ser asignadas a cada uno de los otros, los vectores propios de la Jacobiana representan las direcciones en el espacio de entrada, donde si se mueve localmente (en pequeña cantidad), que se mueven en la misma dirección en el espacio de salida. Esta interpretación no es diferente de la de los vectores propios de cualquier matriz. La única novedad es que de local (pequeño) movimiento, debido a que el Jacobiano se aproxima a la función original a nivel local.