función de recuento del sistema de ecuaciones y método Circle

Question

Se me ocurrió la siguiente pregunta mientras buscaba en el libro de Davenport: Analytical Methods for Diophantine equations and Inequalities.

Al introducir el método del Círculo da un ejemplo de cómo aplicarlo en el caso del problema de Waring. Más concretamente, partiendo de la suma de exponenciales $$ T(\alpha) = \sum_{x=1}^P e(\alpha x^k)$$ donde $e( \cdot)= e^{2 \pi i (\cdot) }$

dice que utilizando la relación ortogonal de las exponenciales podemos representar el número de soluciones del problema de Waring, es decir $$ r(N)= \{ 1 \leq x_i \leq P, \hspace{0.1in} i=1,2,\cdots, s \hspace{0.1in}| x_1^k +x_2^k + \cdots + x_s^k = N \} $$ como una integral, es decir, obtenemos $$ r(N) = \int_0^1 T(\alpha)^s e(-\alpha N) d \alpha $$ .

He demostrado la fórmula anterior, y mi pregunta es cómo se puede generalizar este "método" para demostrar el problema similar :

Dejemos que $f_1, \cdots, f_r \in \mathbb Z [x_1,\cdots,x_s]$ , sean polinomios homogéneos homogéneos de grado $d$ y considerar la función de recuento $$ r(n,P) = \# \{ |x_i| \leq P \hspace{0.1in} | f_i (x_1, \cdots,x_s)= n_i , \hspace{0.1in} i=1,\cdots,r \}$$ donde $n=(n_1,\cdots, n_r) \in \mathbb N_{\geq 0}^r$

¿Cómo podemos escribir la función de recuento $ r(n,P)$ como una integral?

Gracias de antemano.

P.D. Si el título no es el mejor, no dude en cambiarlo para que quede más clara mi pregunta.

Answer 1

Dejemos que $\vec{x}=(x_{1},\dots,x_{s})$ . Para el problema de Waring podemos establecer $g(\vec{x})=x_{1}^{k}+\cdots+x_{s}^{k}$ y escribir $$T(\alpha)^{s}=T_{g}(\alpha)=\sum_{\vec{x}\in[0,P]^{s}}e\left(\alpha g(\vec{x})\right).$$ La integral $\int_{0}^{1}T(\alpha)^{s}e(-\alpha N)d\alpha$ entonces cuenta el número de representaciones de $N$ como una suma de $k^{th}$ ya que los únicos términos de la suma que son distintos de cero corresponden a $g(\vec{x})=N.$ Para $f_{1},\dots,f_{r}\in\mathbb{Z}[x_{1},\dots,x_{s}]$ dejar $$T_{f_{1},\dots,f_{r}}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r})=\sum_{\vec{x}\in[0,P]^{s}}e\left(\alpha_{1}f_{1}(\vec{x})+\cdots+\alpha_{r}f_{r}(\vec{x})\right).$$ Entonces la cantidad $r(n,P)$ es igual a una integral sobre el $r$ -toro de dimensiones $$\int_{\mathbb{T}^{r}}T_{f_{1},\dots,f_{r}}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r})e(-(n_{1}\alpha_{1}+\cdots+n_{r}\alpha_{r}))d\alpha_{1}\cdots d\alpha_{r}.$$ Para demostrarlo, amplíe la definición de $T_{f_{1},\dots,f_{r}}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r})$ y cambiar el orden de integración y suma para obtener $$\sum_{\vec{x}\in[0,P]^{s}}\int_{\mathbb{T}^{r}}\prod_{i=1}^r e\left(\alpha_{i}f_{i}(\vec{x})-n_i\right)d\alpha_1\cdots d\alpha_r,$$ y esto es igual a $$\sum_{\vec{x}\in[0,P]^{s}}\prod_{i=1}^r \int_0^1 e\left(\alpha f_{i}(\vec{x})-n_i\right)d\alpha.$$ Ahora, se deduce que esta cantidad es igual a $r_{f_1,\dots ,f_r}(n,P)$ desde $$\prod_{i=1}^r\int_0^1 e\left(\alpha f_{i}(\vec{x})-n_i\right)d\alpha=\begin{cases} 0 & \text{if}\ f_{i}(\vec{x})\neq n_{i}\ \text{for some }i\\ 1 & \text{if}\ f_{i}(\vec{x})=n_{i}\ \text{for all }i \end{cases}.$$